A561 CUBES A GOGO
Q1 L’entier 2014 peut-il être égal à la différence de deux nombres cubiques x3 et y3 ? Si oui, déterminer x et y. Si non, trouver l’entier le plus proche de 2014 qui peut s’exprimer comme différence de deux nombres cubiques.
Q2 Trouver les couples (p,n) avec p nombre premier et n entier naturel ≥1 tel que pn est la somme de deux nombres cubiques.
Q3 Trouver le plus grand entier naturel positif qui est égal à la somme des chiffres de son cube.
Q1) x3 – y3 = (x – y)(x² + xy + y²)
x – y divise 2014, donc d = x – y est l'un des nombres 1, 2, 19, 38, 53, 106, 1007, 2014.
Les 8 équations du second degré obtenues en posant x = y + d dans x²+xy+y² = 2014/d sont de la forme: 3y² + 3dy + (d² – 2014/d) = 0, il faut (d² – 2014/d) ≡ 0 mod 3,
les valeurs acceptables pour d se limitent alors à : {1, 19, 106, 2014}.
Les 4 équations restantes y²+dy+(d²-2014/d)/3 = 0 et leur unique racine réelle positive sont : y²+y – 671=0 y≈ 25,41
y²+19y – 85=0 y≈ 3,74 y²+106y – 3739=0 y≈ 27,92
y²+2014y – 1352065=0 y≈ 531,22 . Elles n'ont pas de racine entière.
2014 n'est pas égal à la différence de deux nombres cubiques.
5 divise 2015, avec d=5 l'équation 3y² + 3dy + (d² – 2015/d) = 0 se simplifie en y²+5y – 126 = 0 et sa racine positive est 9. D'où y=9 et x = 9+5 .
On a bien 2015 = 143 – 93 , 2015 est l’entier le plus proche de 2014 qui peut s’exprimer comme différence de deux nombres cubiques.
Q2) Si x3 + y3 = pn , quel que soit l'entier c, ( pcx)3 + ( pc y)3 = pn+3c.
Si un couple (p,n) est solution de Q2, tous les couples (p, n+3c) le sont également.
Par exemple 13 + 13 = 21 , donne une première famille de solutions (2,1), (2,4), (2,7) etc.
et 13 + 23 = 32 , donne une deuxième famille de solutions (3,2), (3,5), (3,8) etc.
A l'inverse, pour trouver le plus petit représentant d'une famille, on peut supposer que p ne divise pas pgcd(x,y). Mais d'après l'identité (x+y)(x² – xy + y²) = pn , on a p qui divise x+y, si p divisait l'un des nombres x, y, il diviserait aussi l'autre, donc on supposera que p ne divise ni x ni y.
Posons x+y= pa , et x² – xy + y² = pb , on ne peut avoir b=0, soit x² – xy + y² = 1, que si x=y=1 : on retrouve la première famille. Et , si b>0, il vient (x+y)² – ( x² – xy + y²) = 3xy = pb.(p2a – b – 1).
Comme pb divise 3xy et est premier avec xy, pb divise 3, donc p= 3 , b=1 et xy = 32a – 1 – 1.
x² – xy+y² = 3 ; x² – xy +(y² – 3) = 0 équation en x dont le discriminant est Δ = y² – 4(y² – 3) Δ = 12 – 3y² doit être un carré ; 12 – 3y² = 9u² ; 4 – y² = 3u² donc (y,u) = (1,1) ou (2,0).
x² – x – 2 = 0 → x = 2 et x² – 2x +1 = 0 → x=1 .
Bref, x² – xy + y² > 1, x3 + y3 = pn , et p ne divise pas pgcd(x,y) implique (x,y) =(1,2) ou (2,1), et p = 3. Les couples (p,n) avec p nombre premier et n entier naturel ≥1 tel que pn est la somme de deux nombres cubiques sont les couples (2, 1+3k) , et les couples (3, 2+3k).
Q3)Les entiers , inférieurs à 54, et égaux à la somme des chifffres de leur cube sont : 1, 8 = 5+1+2, 17 = 4+9+1+3, 18 = 5+8+3+2, 26 = 1+7+5+7+6, et 27 = 1+9+6+8+3.
Si 47≤ x≤99, nombre de chiffres de x3 = 6, et somme des chiffres de x3 ≤ 6*9 = 54, donc tout nombre de [55, 99] est strictement supérieur à la somme des chiffres de son cube.
Si 100≤ x≤ 215, nombre de chiffres de x3 = 7, et somme des chiffres de x3 ≤ 7*9 = 63, donc tout nombre de [100, 215] est strictement supérieur à la somme des chiffres de son cube.
De même si 216 ≤ x≤ 464, somme des chiffres de x3 ≤ 8*9 = 72 , … etc.
Aucun nombre supérieur ou égal à 55 n'est égal à la somme des chiffres de son cube.
Le plus grand entier naturel positif qui est égal à la somme des chiffres de son cube est 27.
