Q₁ L’entier 2014 peut-il être égal à la différence de deux nombres cubiques x³ et y³ ? Si oui, déterminer x et y. Si non, trouver l’entier le plus proche de 2014 qui peut s’exprimer comme différence de deux nombres cubiques.
Q₂ Trouver les couples (p,n) avec p nombre premier et n entier naturel ≥1 tel que pⁿ est la somme de deux nombres cubiques.
Q₃ Trouver le plus grand entier naturel positif qui est égal à la somme des chiffres de son cube.
Q1 : 133=2197 est le premier cube supérieur à 2014, tandis que 273-263=2107 est la première différence de deux cubes consécutifs supérieure à 2014 : il suffit d’examiner les différences de deux cubes dont le plus grand est compris entre 133 et 263. On ne trouve pas 2014, mais 2015=143-93=2744-729.
Q2 : Si (p, n) répond à la question, ce sera aussi le cas de (p, n+3), car si pn=a3+b3, pn+3=a3p3+b3p3. Par ailleurs, si a et b ne sont pas premiers entre eux, leur pgcd ne peut être qu’une puissance de p. Si l’on se limite au cas où a et b sont premiers entre eux, a3+b3=(a+b)((a+b)2-3ab) :
Donc a+b est une puissance de p, et si p≠3, a2-ab+b2=1, dont la seule solution est a=b=1, p=2.
Si p=3, a+b=3k, et 32k-3ab=3(32k-1-ab) doit être une puissance de 3, ce qui n’est vrai que pour k=1, (puisque ab n’est pas divisible par 3) donc a=1, b=2 (ou l’inverse).
En résumé les solutions sont p=2, n=1, 4, ... et p=3, n=2, 5, ...
Q3 : Les cubes des nombres compris entre 55 et 63 n’ont que six chiffres et ensuite le cube de 9k s’écrit avec moins de k chiffres (k≥7). donc au delà de 54, la somme des chiffres du cube est strictement inférieure au nombre. Les seuls nombres égaux à la somme des chiffres de leur cube sont donc 1, 8, 17, 18, 26 et le plus grand, 27.
