Devoir (I,3) du 27 novembre 2014

LGL Devoirs en classe 2014 _______________________________________________________________________________________

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AB Beran - 2014-15-1C1-Corrige-I3.DOC Bonne Chance et Bon Courage !!! - 1 -

Devoir (I,3) du 27 novembre 2014

Exercice 1:

a) Résolvez dans  les (in-)équations suivantes :

       

       

     

    

2 1 2

2

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1) log 3 2 log 4 log 3 8

3 2 0

. . 4 0 2; 4

3 8 0 3

: log 3 2 log 4 log 3 8

log 3 2 log 3 8 log 4

log 3 2 log 3 8 4

3 2 3 4 32 3 30 0

3 10

3

x x x E

x

C E x D

x

D E x x x

x x x

x x x

x x x x x

x à rejeter ou x

S

    

  

      

  

  



      

     

      

         

   



  ^{ }

   

   

   

2

2

2

10 3

2) ln ln 4 0

2

2 0

. . ; 2 2;

4 0

: ln 4 ln1 1 .

2

2 2

x x IE

x

x

C E x D

x

D IE x x base e bij

x

x x x

  

 

    

  

 

 

       

  



 

        

 





2 x

 

 

 

2

2

*

*

1

2 1 0 *

2 2 2

) 1 2 1 2

2

1 2 1 2

) :

2 1 0 0

) 1 2; 1 2

1 2; 2

x x

i Racines x x

x

ii TDS

x x

iii E

S E D



   

        

   

    

 

     

 

      

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   

    

 

   

   

 

2

2

2

2 1

3) 2 . . 2 ln 2 ln 2

2

2 1 2 :

2

2 1 4 4

0 2

6 5

0 2

6 5

Posons : 0 0

2

) : 2 1 et 5

1 2 5

) :

0 0

)

2

1

2

x

x x

x

x x

x

x x x

x

x x

x

x

x

x

e e IE C E e x D

e

e e

x D IE

e

e e e

e

e e

e

t t

t e IE Q t

t

i Racines t D t t t N t

ii TDS t

Q t i

e e

ii

        



 

   



   

 



  

 



  

    



      

   











   

2 5

Revenons à : 1 2 5 1 .

0 ln 2 ln 5

0;ln 2 ln 5;

x x

t ou t

x e ou e base e bij

x ou x

S

 

    

  

  



b) Calculez la limite suivante:

 

2

1

ln 4 4

lim . . lim

1

H

x x

x f i

 x 

  

  

x4

lim 1 0

2x ^x x 2x 



c) Calculez la limite suivante :

     



2 2

4 1 ln 4 ln 4 4 1 ln 4

lim lim 4 . . lim . . lim

2 2

1 lim ln 4 4

2

x x

x

x x x x

x x

f x f i f i

x x

 



   



 

          

  

    



    

d) Calculez le domaine de dérivabilité et la fonction dérivée de la fonction suivante : f x

   

 2x ^1x

   

 

^{   }

 

^{ }

 

1

1

'

ln 2 1 ln 2

1 ln 2

2 0 0 1 1

2 . . 2 1 1 0;2 2;

2 :

' ln 2 1 1

2

x

x

f

x x x

f

x x

x x

f x x C E D D

x x

x D f x e e

f x e x x





   

 

 

 

 

      

            

   

       2

x ^{ln 2x 1 x}

 

^{2x 1 x}

x

       

   

 

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Exercice 2: Soit la fonction f donnée par : f::x f x

  

 x 4



e^2x Faites l’étude de cette fonction

(Domaines, limites aux bords du domaine et comportement asymptotique, dérivée première et tableau de variation, intersection avec les axes, esquisse de la courbe)

 D_f 



 

_

 

2

2 2

0

4 1

lim 4 . . lim lim 0 0 pour

2

x H

x x

x x x

x e f i x AH y x

e e



 

   



         

  

 

_²

lim 4 ^x

x x e AH

 



   



 

 ²

 

1

? lim lim 4 ^x . . de direction

x x

f x x

AO e B P Oy

x x

 

 

     

 ^{ x : f'}

 

^{x e2x}



^{x 4}



^{e2x 2 e2x }



^{1 2x 8}

 

^{2x 7}



^e2x

 

⁷

' 0

f x   x 2

 TV :

 

 

7

7

7

2 7 1

' 0 548,317

2 2

0 min

1 2 x

f x f e

f x

e



 

          



  

 C_f 

 

Oy : f

 

0  4 C_f 

 

Ox : f x

 

  0 x 4 P₁



0; 4



P₂

 

4;0

 Graphe de la fonction :

Attention : Comme l’ordonnée du minimum est 548,317 , il faut choisir un repère qui n’est pas orthonormé. L’unité sur (Oy) peut être choisie comme étant 100.

Zoom-in autour de l’axe des y

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Répartition des points: 35 (7+7+7+4+5+5) + 25