DEVOIR A LA MAISON N°2 TS spé
Pour le 3 novembre 2014.
I. Le code d une carte de crédit est un nombre de 4 chiffres qui ne commence pas par 0. Paul a remarqué qu en ajoutant 17 ou 86 au code de sa carte, il obtient des carrés parfaits. Quel est le code de la carte de Paul ?
II. Critères de divisibilité.
Les calculs doivent pouvoir être faits sans calculatrice et sans poser d opérations.
On note n = a
na
n−1...a
1a
0le nombre composé des chiffres a
n, a
n 1; ... a
0. On a alors n = a
010 a
110
2a
2... 10
na
n.
Par exemple, 3 695 = 5 + 9 10 + 6 10
2+ 3 10
3.
La somme des chiffres du nombre a
na
n−1...a
1a
0est le nombre a
0+ a
1+ a
2+ ... + a
n. Par exemple, la somme des chiffres du nombre 3 695 est 3 + 6 + 9 + 5 = 23.
La somme alternée des chiffres du nombre a
na
n−1...a
1a
0le nombre a
0 a
1+ a
2 ... + ( 1)
na
n. Par exemple, la somme alternée des chiffres du nombre 3 695 est 5 9 + 6 3 = 1.
1. Divisibilité par 3.
a.
Déterminer le reste de la division de 10
kpar 3, k étant un entier naturel non nul.
b.
Montrer que tout entier naturel est congru à la somme de ses chiffres modulo 3.
c.
Enoncer alors un critère de divisibilité par 3.
d.
Donner le reste de la division euclidienne de 451 111 231 par 3.
2. Divisibilité par 11.
a.
Montrer que pour tout entier naturel k non nul, 10
k( 1)
k(11)
b.
Montrer que tout entier naturel non nul est congru à la somme alternée de ses chiffres modulo 11.
c.
Les nombres 425 612 et 415 781 sont-ils divisibles par 11 ? 3. Divisibilité par un nombre quelconque.
Cherchons par exemple si un nombre est divisible par 7. Pour cela, on examine les restes dans la division par 7 des puissances de 10 successives.
a.
En remarquant que 10
k 1= 10
k10, remplir le tableau suivant. Justifier.
10
k10
010
110² 10
310
410
510
610
710
8Reste de la division de 10
kpar 7
b.
Déterminer sans calculatrice si 689 243 157 est divisible par 7. Ecrire les calculs.
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°2 TS spé
I. Soit N le code de la carte de Paul.
1000 N 9 999.
N 17 p² et N 86 r ², où p et r sont des entiers naturels.
On a alors r ² p² 86 N 17 N = 69, c'est-à-dire (r p )(r p ) 69.
Les diviseurs positifs de 69 sont 1 ; 3 ; 23 et 69. r et p étant positifs, on a r p r p.
Donc
r p 1 r p 69 ou
r p 3
r p 23 , c'est-à-dire
r 35 p 34 ou
r 13
p 10 . De plus, N p ² 17.
Alors N 34² 17 1 139 ou N 10² 17 83.
83 ne peut être la solution car le code est compris entre 1 000 et 9 999.
Vérification pour N 1 139 : 1 139 + 17 = 34² et 1 139 + 86 = 35².
Le code de la carte de Paul est 1 139.
II. Critères de divisibilité.
1. Divisibilité par 3.
a.
10 = 3 3 + 1 donc 10 1(3). Alors 10
k 1
k(3), c'est-à-dire 10
k 1(3). Le reste de la division de 10
kpar 3 est 1.
b.
Soit n = a
na
n−1...a
1a
0= a
010a
110
2a
2... 10
na
n.
D après la question a., n a
0a
11 a
21 ... a
n1(3), c'est-à-dire
n a
0+ a
1+ a
2+ ... + a
n(3). n est donc congru à la somme de ses chiffres modulo 3.
c.
Un nombre est divisible par 3 si et seulement si la somme de ses chiffres l est.
d.
451 111 231 4 + 5 + 1 + 1 + 1+ 1 + 2 + 3 + 1 (3), c'est-à-dire 451 111 231 19 (3), ou encore 451 111 231 1 (3). Le reste de la division euclidienne de 451 111 231 par 3 est 1.
2. Divisibilité par 11.
a.
10 = 1 + 11 donc 10 1(11). Alors 10
k ( 1)
k(11).
b.
Soit n = a
na
n−1...a
1a
0= a
010a
110
2a
2... 10
na
nD après la question a., n a
0a
11 a
21)
2... a
n( 1)
n(11), c'est-à-dire n a
0 a
1+ a
2 ... + ( 1)
na
n(11). n est donc congru à la somme alternée de ses chiffres modulo 11.
c.
425 612 2 1 6 5 2 4(11) donc 425 612 0(11) : 524 612 est divisible par 11.
415 781 1 8 7 5 1 4(11) donc 415 781 8(11), c'est-à-dire 415 781 3(11) : 524 612 n est pas divisible par 11.
3. Divisibilité par un nombre quelconque.
Cherchons par exemple si un nombre est divisible par 7. Pour cela, on examine les restes dans la division par 7 des puissances de 10 successives.
a.
On passe d une colonne à la suivante en multipliant par 10.
10
k10
010
110² 10
310
410
510
610
710
810
kmodulo 7 1 10 3 10=30 2 10=20 60 40 50 10 30
Reste de la
division de 10
kpar 7
1 3 2 6 4 5 1 3 2
b.
