A510. Les puissants se laissent manipuler
Par convention un nombre entier naturel positif n est appelé « puissant » si pour tout facteur premier p de n, p² divise aussi n. Ainsi 36 et 500 sont deux nombres puissants.
Montrer que chacun des entiers naturels de 1 à 21 peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
Pour les plus courageux : un entier naturel quelconque peut-il être représenté par la différence de deux nombres puissants?
Q1) Tout nombre impair 2t+1 est différence de deux puissants car 2t+1 = (t+1)² – t² Tout multiple de 4 est différence de deux puissants car 4t = (t+1)² – (t-1)² Il reste à voir le cas des nombres de la forme 4t + 2 soit {2, 6, 10, 14, 18}
2 = 27 – 25 = 33 - 5² et 18 = 27 – 9 = 33 - 3² , il reste les cas {6, 10, 14}pour lesquels on va chercher des solutions où l'un des deux puissants est un carré, l'autre ayant un facteur premier affecté de l'exposant 3.
Pour 6 : l'équation 7x² -y² = 6 a une solution évidente M = 1
1 soit la matrice A = 8 3 21 8 D' autres solutions sont de la forme An M soit (x=11,y=29), (175,463) , ( 2789, 7379) etc.
Pour que 7x² soit puissant il suffit que x soit multiple de 7. Or 175 = 7 * 25.
Finalement 6 = 25² . 73 – 463²
Pour 10 : l'équation 11x² -y² = 10 a une solution évidente M = 1
1 soit la matrice A = 10 3 33 10 D' autres solutions sont de la forme An M soit (x=13,y=43),(259,859), (5167,17137) etc.
Pour que 11x² soit puissant, il suffit que x soit multiple de 11. La matrice A est congrue, modulo 11, à la matrice A' = −1 3
0 −1 . Les couples issus de A' n M sont, modulo 11, : (2,-1)(-5,1)(8,-1)(0,1) Donc avec n=4 on a A4 M = 103081
341881 et on a bien 103081 = 9371*11 Finalement 10 = 9371² . 113 - 341881² = 9371² . 113 - 29² . 11789²
Pour 14 : l'équation x² – 11 y² = 14 a une solution évidente M = 5
1 soit la matrice A = 10 33 3 10 D' autres solutions sont de la forme An M soit (x=83,y=25),(1655,499),(33017,9955).
Pour que 11y² soit puissant il suffit que y soit multiple de 11, or c'est le cas pour 9955 = 11. 905 Finalement 14 = 33017² – 905² . 113 = 137² 241² - 5² 181² 113
Cette méthode laisse parfois échapper des solutions beaucoup plus simples où les deux puissants ont des facteurs premiers affectés d'exposants impairs , par exemple 10 = 2197 – 2187 = 133 – 37 . Q2) Cas général, (pas vraiment de preuve mais des méthodes ) Un nombre 4t+2 est donné,
a) partant de y=1, tant que y² + (4t+2) n'est pas premier on remplace y par y+1. Admettons qu'on trouve ainsi un nombre w tel que w² + (4t+2) = un nombre premier p.
L'équation px² – y² = (4t+2) admet donc une solution M= 1
w La méthode des fractions continues fournit une matrice A = u v
pv u avec u² – pv² = 1. Parmi les autres solutions qui sont données par An M , il faut en trouver une avec x multiple de p. On peut réduire, modulo p, la matrice A à l'une des matrices A' = 1 v
0 1 ou −1 v
0 −1 . Les An M sont congrues, mod p, aux ( 1 v
0 1 )n 1
w = 1+nvw
w ou ( −1 v
0 −1 )n 1
w = (-1)n . 1−nvw w
Dans les 2 cas, (vw) est inversible dans le corps Z/pZ et on trouve n tel que 1 + nvw=0 resp. 1-nvw = 0. En affectant à la matrice A cet exposant n, si on pose An M = x
y , on a finalement p3 (x/p)² – y² = (4t + 2).
b) autre procédé :
partant de x = valeur approchée par excès de
√
4t+2 , tant que x² – (4t+2) n'est pas premier, on remplace x par x+1. Admettons qu'on trouve ainsi un nombre w tel que w² - (4t+2) = un nombre premier p, l'équation x² – py² = (4t+2) admet donc une solution M= w1 . La méthode des fractions continues fournit une matrice A = u pv
v u avec u² – pv² = 1. Parmi les autres solutions qui sont données par An M , il faut en trouver une avec y multiple de p. On peut réduire, modulo p, la matrice A à l'une des matrices A' = 1 0
v 1 . ou −1 0
v −1 . Les An M sont congrues, mod p, aux A'n M = ( 1 0
v 1 )n w
1 = w
1+nvw ou ( −1 0
v −1 )n w
1 = (-1)n w 1−nvw . Dans les 2 cas, (vw) est inversible dans le corps Z/pZ et on trouve n tel que 1 + nvw=0 resp. 1-nvw = 0.
En affectant à la matrice A cet exposant n, si on pose An M = x y , on a finalement x² - p3 (y/p)² = (4t + 2).
Exemples
4t+2 = 22 31 x² – y² = 22 avec A = 1520 273
8463 1520 A' = 1 25
0 1 et M = 1
3 ; n=19 car 1+19.25.3 = 0 mod 31 ou x² – 59y² = 22 avec A = 530 4071
69 530 A' = −1 0
10 −1 et M = 9
1 ; n=40 car 1- 40.10.9 = 0 mod 59 4t+2 = 26 107x² – y² = 26 avec A = 962 93
9951 962 A' = −1 93
0 −1 et M = 1
9 ; n=45 car 1 – 45.93.9 = 0 mod 107 ou x² – 23y² = 26 avec A = 24 115
5 24 A' = 1 0
5 1 et M = 7
1 ; n=21 car 1 + 21.5.7 = 0 mod 23 On peut affirmer (avec peu de risque de se tromper …) que tout entier naturel peut être représenté par la différence de deux nombres puissants.
J'ai essayé de décrire des procédés systématiques, mais on peut trouver parfois des nombres puissants plus simples dont la différence soit le nombre souhaité.
Exemples 22 = 47² – 37 ; 26 = 35 7² - 109²
