A50088. Empilez les cubes
Le plus petit entier repr´esentable de deux fa¸cons comme somme de deux cubes est 1729. Sauriez-vous en trouver un autre ?
Voici une indication pour vous mettre sur la voie.
1729 = 123+ 13= 103+ 93.
Observez que la relation bien connue 63= 53+ 43+ 33
peut s’´ecrire (12−6)3+ (1−6)3 = (10−6)3+ (9−6)3. Solution
Selon la piste indiqu´ee, on commence par essayer (12 +x)3+ (1 +x)3 = (10 +x)3+ (9 +x)3, mais cela donnex(x+ 6) = 0, donc rien de plus que les
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egalit´es 1729 = 123+ 13= 103+ 93, pourx= 0, et 63= 33+ 43+ 53, pour x = – 6. Il faut se donner plus de degr´es de libert´e. Observant que les termes de degr´e 0 et 3 ont disparu dans notre premier essai, nous pouvons conserver cette propri´et´e en essayant, avec deux variables :
(*) (12 +x)3+ (1 +y)3 = (10 +x)3+ (9 +y)3, ou
(**) (12 +x)3+ (1 +y)3 = (10 +y)3+ (9 +x)3, ou encore (***) (12 +x)3+ (1 –x)3 = (10 +y)3+ (9 –y)3.
Chacune de ces ´equations repr´esente une conique passant par l’origine, et on sait en construire une repr´esentation param´etrique rationnelle en posant y =mx. L’´equation ´etant `a coefficients rationnels, les valeurs rationnelles demfournissent des valeurs rationnelles dexety, d’o`u on tire des nombres qui sont de deux fa¸cons somme de deux cubes rationnels, puis des entiers ayant la mˆeme propri´et´e.
Par exemple, pour m = 3/5, l’´equation (**) donne x = 15, y = 9 et 273+ 103 = 20683 = 193+ 243. Mais on ne peut obtenir d’entiers relative- ment petits que par tˆatonnements, car on maˆıtrise mal les d´enominateurs qu’introduit cette m´ethode.
Christian Romon propose la m´ethode suivante pour ´eviter cette croissance incontrˆol´ee.
En ´etablissant une table d’addition des nombres entiers relatifs cubiques les plus proches de 0, on constate que le plus petit entier strictement positif s’´ecrivant de deux fa¸cons diff´erentes comme somme de deux entiers relatifs cubiques est 91 qui s’´ecrit aussi bien comme la somme des cubes de 6 et –5 que comme la somme des cubes de 3 et 4. Les deux nombres suivants ayant cette propri´et´e sont ensuite 152 et 189, r´esultant en fait de la mˆeme
´egalit´e 63= 33+ 43+ 53.
L’id´ee pour g´en´erer de nouvelles ´egalit´es entre 4 nombres cubiques `a partir d’une ´egalit´e telle quea3+b3 =c3+d3 est de chercher des entiers relatifs uetvtels que l’on ait (a+u)3+ (b+v)3 = (c+u)3+ (d+v)3. Puis `a partir des valeurs ainsi trouv´ees on peut `a nouveau g´en´erer d’autres ´egalit´es `a 4 nombres entiers naturels cubiques.
L’´enonc´e invite `a trouver de telles ´egalit´es ´equilibr´ees avec deux cubes entiers naturels de chaque cˆot´e du signe ´egal.
Le d´eveloppement de (a+u)3+(b+v)3 = (c+u)3+(d+v)3aveca3+b3 =c3+ d3 conduit `a l’´egalit´e suivante :v(b– d)(v+b+d) =u(c– a)(u+c+a) qui permet de trouver rapidement des solutions enu etv et donc de nouvelles
´egalit´es cubiques. A noter qu’`a partir d’une ´egalit´e donn´eea3+b3 =c3+d3 il y a trois fa¸cons diff´erentes d’apparier les nombres de d´epart pour la recherche deu etv : On peut en effet ´ecrire
(a+u)3+ (b+v)3= (c+u)3+ (d+v)3 (A) ou encore (b+u)3+ (a+v)3= (c+u)3+ (d+v)3 (B) ou encore ( –d+u)3+ (a+v)3 = (c+u)3+ ( – b+v)3 (D).
Une ´egalit´e donn´ee peut ainsi g´en´erer a priori au moins trois familles de nouvelles ´egalit´es, mais ´eventuellement davantage en partant des nombres ka,kb,kcetkd, c’est `a dire en prenant des multiples des nombres initiaux.
Convenons de noterEi//Ejdeux ´egalit´es de 4 nombres cubiques pouvant se d´eduire l’une de l’autre pour des valeurs bien choisies de u et v ap- pliqu´ees `a des appariements convenablement choisis. Nous conviendrons de prendre les nombresa,b,cetdpremiers entre eux dans leur ensemble 1
pour la formulation g´en´erique d’une ´egalit´e et de noter kEilorsque nous partons des coefficients multipli´es par un mˆeme facteurk. Enfin notons par les lettres A,B etD les trois appariements possibles d´efinis plus haut en convenant de prendre pourcle plus grand des 4 nombres et|a|>|b|>|d|.
Ainsi par exemple avec cette notation et en d´esignant par E1 la relation 63 = 53+ 43+ 33 et E2 93 = 83+ 63+ 13, on constate que E1A//E2A, les valeurs u= 3 etv= 2 permettant d’obtenir E2A `a partir de E1A.
En r´esolvant les diverses ´equations on peut construire de proche en proche pour les petites valeurs de u et de v de nouvelles relations. Voici celles obtenues par Romon :
E3 123+ 13= 103+ 93, E4 163+ 23= 153+ 93, E5 193= 183+ 103+ 33, E6 273+ 103 = 243+ 193, E7 343+ 23 = 333+ 153, E8 343+ 93= 333+ 163, E9 393+ 173 = 363+ 263, E10 403+ 123 = 333+ 313 . . .
Les conditions de passage de l’une `a l’autre sont les suivantes : E1A//E2A//E4A//E8A,
E1B//E3A,
E1D//E2B//E3B//E6A//E9A, E2D//E6B,
2E2D//2E6B//E5D, E3D//E9B,
E4D//E8B, E5B//E10B, E5A//E7A.
A noter que certaines ´egalit´es peuvent aussi s’obtenir plus simplement par combinaisons lin´eaires d’autres ´egalit´es bien choisies. Par exemple E3 s’obtient comme 2E1 –E2 ou encore E5 +E6 donne 3E2. Mais il semble bien qu’`a partir de la m´ethode enuetvon puisse g´en´erer toutes les ´egalit´es
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a 4 cubes de proche en proche, ce qui reste cependant `a prouver.
Les r´esultats ci-dessus (E4, E7, E8 d’une part, E5, E6 d’autre part) font aussi ressortir des entiers d´ecomposables de 3 fa¸cons en sommes de 2 cubes d’entiers relatifs :
3367 = 153 – 23 = 163 – 93= 343 – 333, 5859 = 183+ 33= 193 – 103= 273 – 243.
Les deux plus petits nombres s’´ecrivant comme somme de deux entiers naturels cubiques de deux fa¸cons distinctes s’obtiennent avec les ´egalit´es E3 etE4. Ce sont : 1729 = 123+13 = 103+93et 4104 = 163+23 = 153+93.
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