Révision d'algèbre / 18-19

RÉVISION D'ALGÈBRE

1.1 Polynômes et opérations

1

1.2 Identités remarquables et factorisation

5

1.3 Les équations

9

1.4 Systèmes d'équations linéaires

12

AVANT-PROPOS

Que contient cette brochure de révision d’algèbre ?

Cette brochure se divise en 5 chapitres. Les 4 premiers contiennent chacun de la

théorie et des exercices. Le dernier chapitre contient les corrigés complets de tous les

exercices.

Les 4 premiers chapitres résument toutes les notions d’algèbre étudiées au Cycle

d’orientation. C’est donc un document idéal pour faire de la révision pendant les

vacances ou tout au long de l’année scolaire.

Pourquoi l’algèbre est-elle si importante ?

En mathématique, l’algèbre c’est un peu comme l’orthographe en français ! C’est une

connaissance de base qui permet de maîtriser par la suite les autres branches des

mathématiques.

Comment utiliser au mieux cette brochure de révision d’algèbre ?

Cette brochure ne se lit pas comme un roman ; il n’est pas

nécessaire de parcourir toutes les pages d’un chapitre pour le

comprendre et le maîtriser. Il est donc conseillé de résoudre

une partie seulement des exercices d’un chapitre et, suivant

le taux de réussite, de lire ou non la théorie qui s’y rapporte.

Cette brochure sert avant tout, à combler certaines lacunes

et à réactiver les connaissances en algèbre acquises durant

les études au Cycle d’orientation.

Téléchargement

Vous pouvez télécharger ce document au format PDF à l’adresse suivante :

http://www.sismondi.ch/disciplines/mathematiques/espace-perso-profs/serge-picchione

1.1 Polynômes et opérations

Définition

Un monôme (à une variable) est le produit d’un nombre réel donné et d’une variable réelle élevée à une certaine puissance entière positive ou nulle.

Exemples 9x3 7x1 by5 -1x2 -4x0 ay3

Remarques a) Le nombre donné qui compose le monôme s’appelle le coefficient du monôme. b) On note : 1 x 1 ,

 

   1 x x , x0  et 1 x1 x

Définition

Un polynôme (à une variable) est une somme de monômes (à une variable) . Ces monômes s’appellent les termes du polynôme.

Exemples

a) P( x )4 x57 x - 9 est un polynôme en x composé de 3 monômes.

Le degré du polynôme est 5, on note deg(P) = 5 et ses coefficients sont : c =4 , c =7 , c = 9._{5 1 0}  b) P( t ) -t 9 est un polynôme en t composé de 2 monômes.

Le degré du polynôme est 1, on note deg(P) = 1 et ses coefficients sont : c = 1 , c = 9.₁  ₀ Remarque Dans ce cours, un monôme est considéré comme un polynôme à 1 terme. Définition

Le degré n du polynôme, c’est la plus grande puissance de la variable qu’il contient. Notation : deg(P) = n.

Remarques

a) Un polynôme ne possède pas de variable à l’exposant :

x

P( x )2 3x n’est pas un polynôme car 2 n’est pas un monôme. x

P( x ) x23x est un polynôme deg( P )2 et ses coefficients sont : c =1 , c =3 , c =0 . _{2 1 0} b) Un polynôme ne possède pas de variable sous une racine :

P( x ) 5x2 n’est pas un polynôme car

1 2

5x  5 x  5x n’est pas un monôme. P( x ) 5x2 est un polynôme deg( P )1 et ses coefficients sont :c = 5 , c =2_{1 0} . c) Un polynôme ne possède pas de division par la variable :

P( x ) 3 6 x

  n’est pas un polynôme car 3 31 3x 1 x x



  n’est pas un monôme. P( x ) x 6

3

  est un polynôme deg( P )1 et ses coefficients sont :c =₁ 1 , c =6₀ 3 .

Convention

On écrit toujours les termes d’un polynôme (monômes) de telle sorte que les puissances soient présentées dans l’ordre décroissant.

Somme de deux polynômes

(addition)





2 2 2 2 2 3t 2t 1 6t 8t 2 3t 6t 2t 8t 1 2 = ( 3 6 )t ( 2 8 )t ( 1 2 )                       2 2 2 P(t) + Q(t) (3t + 2t + 1) + (6t 8t + 2) 9t 6t + 3 = P + Q (t) associativité a+(b+c)=(a+b) +c commutativité a+b=b+a mise en évidence ab ac a( b c ) forme réduite et ordonnée

 

   



Différence de deux polynômes (soustraction)







 







2 2 2 2 2 2 2 ( 3t 2t 1 ) ( 6t 8t 2 ) 3t 2t 1 6t 8t 2 3t 6t 2t 8t 1 2 3 6 t 2 8 t 1 2                                   2 2 2 P(t) Q(t) = (3t + 2t + 1) (6t 8t + 2) 3t + 10t 1 = P Q (t)

 

def. de la soustraction a b=a+( b)=a+ 1 b associativité a+( b+c )=( a+b )+c commutativité a+b=b+a

mise en évidence ab ac a( b c ) forme réduite et ordonnée

            • Le polynôme opposé à 2 Q( t )6t   est 8t 2 2 Q( t ) 6t 8t 2      et réciproquement. Si on change les signes de chaque coefficient d’un polynôme, on obtient le polynôme opposé. • Par définition, la somme d'un polynôme et de son opposé est égale au polynôme nul ; c'est à dire : Q t

 

 



Q t

 



 



Q t

 



 Q t

 

 0

Produit de deux polynômes (multiplication)



 

 











2 3 3 2 5 3 3 5 3 3t 5t + 1 5t 3t 8t + 1 8t 15t 5t 24t 8t 15t ( 5 24)t 8t                        2 3 5 3 R(t) T(t) (3t + 1)(5t 8t) 15t 19t 8t = R T (t) n m n m (a+b)( c d ) = ac ad bc bd double distributivité commutativité ab ba et a a a mise en évidence ab ac a( b c )

forme réduite et ordonnée

             

Illustration de la distributivité Remarques

On se souviendra qu'il est naturel d'utiliser les propriétés bien connues des opérations sur les nombres réels (mise en évidence,

distributivité, commutativité, associativité, etc.) lorsque l'on multiplie, additionne ou soustrait deux où plusieurs polynômes, car les lettres composant le polynôme représentent des nombres.

Lorsqu’on additionne, soustrait ou multiplie deux nombres réels le résultat est un nombre réel ce qui est aussi le cas pour les polynômes !! 5t3

1

-8t

Exercice 1

a) Exprimer les nombres suivants en utilisant n pour représenter un nombre entier naturel. Exemple Les nombres pairs : 2n car si n est un entier naturel n



0,1,2,3 ,4 ,5 ,...





alors 2n



0,2 ,4,6 ,8 ,10 ,...



1) Les nombres impairs.

2) Les multiples de 3. 3) Les multiples de 5. 4) Les multiples de . 5) Les multiples de 2.

6) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 3. 7) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 23. 8) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570.

b) Exprimer et simplifier à l’aide des lettres données : 1) le périmètre d’un rectangle de dimensions a et b.

2) l’aire totale des faces d’un parallélépipède rectangle de dimensions x , y et z. 3) la somme des aires de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 2r. 4) la somme des aires de trois carrés de côtés respectifs x , 3x et 9x.

5) le volume total du corps formé de deux cubes, l’un d’arête x et l’autre d’arête y. 6) le périmètre d’un triangle équilatéral de côté 3c.

7) l’aire de la couronne comprise entre deux cercles concentriques de rayon x , respectivement y (avec y >x).

8) l’aire d’un carré de diagonale d.

9) l’aire d’un losange dont la petite diagonale mesure d et la grande le triple de la petite. 10) la somme des périmètres de deux disques, l’un de rayon r, l’autre de rayon 3r.

11) l’aire totale A des faces de l’objet. 12) le volume V de l’objet.

Remarque : les dessins ne sont pas à l’échelle.

x x 3x x y 2 x x

Exercice 2

Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes. 1) 2





x  x1 2) 2x2



x2 2



3)



3x2 4







x 1



2 4)



x29x 14







x 4



5)



x2 11x28







2x2



2 6)



z2  z

 

z z3



7) 4_



t21



2 



1 t



2_   8)



y 1 





y2  y 1



9)



x 1



2



x2  x 1



10) 



x6 3x39

 

 x3 3



11) 2x 1 3 x 1



x 2



3 5    _{ } _{ }         12) 2 3x 4 x 1 2 4  _  13) 7



2x 3



2x 3 1 4 2     14) 2



t 1

 

2t 6

 

4 t 5



3      15)





2 3 x x 1 2   16)



3 y 1



1 2 y 6 y 5 2 8 3       _  _   17) x 1 x 2 x 3 x 4 2 3 4 5         Exercice 3

Effectuer les opérations entre les polynômes et donner les coefficients et le degré des polynômes. 1) 2





x x1 2) 2x2



x2  2



3)



3x2 4





x 1



4)



x29x 14





x 4



5)



z2z



zz3



6)



t2 1 1 t









2 7)



y1



2



y2  y 1



8)



x 1 x





2  x 1



9)



x6 3x39



x3 3



10) x 1



x



2x1



11) 2







x x2 2x3 12)



1x



2x



x3



13) 3 t



2



2 9 14) 4 x



2



2  6

1.2 Identités remarquables et factorisation

Quels que soient les nombres a, b et x on a :

1)



xa



2  x22ax a2

2)



xa



2  x22ax a2

3)



xa



xa



 x2a2

4)



xa



xb



 x2 



ab x



 a b

Remarques

a) Il n'existe pas d'écriture sous forme d’un produit pour 2 2

x a .

b) Ces identités remarquables vont notamment nous permettre de gagner du temps dans le calcul algébrique.

c) Il est important de savoir reconnaître une identité remarquable et d’être capable de passer d’un produit à une somme et réciproquement.

Définitions

• Factoriser un polynôme, c’est le transformer en produit de polynômes.

• Développer, c'est transformer les produits de polynômes pour obtenir une somme de termes simples (sommes de monômes).

Exemple

 2    

P( x ) x 10x 25 ( x 5 )( x 5 )

Remarque Factoriser un polynôme et développer sont des transformations réciproques. Factoriser

•

Méthodes de factorisation

1) 8x23x = x 8x



3



Mise en évidence : ab + ac = a b + c





On met en évidence les symboles apparaissant dans tous les monômes.

2) x2 2



x 2

 

 x 2



Identité remarquable : x2a = x + a2





xa



3) En général, il est nécessaire d’utiliser la mise en évidence et les identités remarquables plusieurs fois pour factoriser le plus possible un polynôme.















Polynome factorisé 3 2 2 2 x 10x +25x = x x 10x+25 ˆ = x x 5 x 5 = x x 5        Mise en évidence Identité remarquable

4) Il existe des polynômes comme x3x - 26 x2 24 qui sont factorisables mais les méthodes étudiées ci-dessus ne sont pas applicables. x3x2 26 x24



x6



x1



x4



D’autres méthodes existent pour factoriser certains polynômes, mais elles seront traitées en 1ère et en 2ème année en lien avec les solutions d’une équation polynomiale.

On verra en outre, l’utilité de la factorisation pour la résolution d’équations polynomiales. Remarques

a) Tous les polynômes ne sont pas factorisables ; Les polynômes de degré 1 comme 3x+1 et le polynôme x24 de degré 2 ne sont pas factorisables.

Cependant, le théorème suivant nous donne une information importante :

Tout polynôme se décompose de manière unique en un produit de polynômes du 1er _{degré et/ou du 2}ème _degré.

Exemples

 

P(x) 3x 1 deg(P)=1 P( x ) n' est pas factorisable.

 2

Q(x)= x 4 deg(Q)=2 Q( x ) n' est pas factorisable.







2

R( x )x 10 x25  x5 x5 deg(R)=2 R( x ) est factorisable.









3 2

S( x )x x 26 x24 x6 x1 x4 deg(S)=3 S( x ) est factorisable.











4 3 2 2

T( x )x 5x 2x 20x24 x 6 x 1 x  4 deg(T)=4 T( x ) est factorisable.

Nous étudierons dans un prochain chapitre la condition pour qu'un polynôme de degré 2 soit factorisable ou non.

b) On retiendra que, factoriser un polynôme est une transformation sur les polynômes alors que la mise en évidence et les identités remarquables sont deux « outils » pour factoriser un polynôme.

Factorisation Factorisation

Exercice 4

Factoriser complètement les polynômes. Exemples : i) 2







x 16= x4 x4 ii) 2







7 2 5 et 10 2 5 x 7 x10 x2 x5     iii) 3x26 x 3 3 x



22x 1 



3 x 1 x 1







 



3 x 1







2 1) 2  x 14x 49 2) 2  x 16 x 63 3) x29 4) 4x2 20x25 5) 4x2 6) 2  x 20x 21 7) 2  x 11x 30 8) 36 x224x4 9) 2x226 x24 10) 9t249 11) 2  x 2x 63 12) 2 2x 72 13) x2 10x39 14) x212 11x 15) 9x24 16) 2  x 24x 144 17) x222x21 18) 16 x2x2 32 19) 16t264t64 20) v211v30 21) 2   2a 14a 24 22)  12 x211x 23) 9x212x4 24) 3x221x36 25) 4x2 4x 120 26) 2  x 20x 21 27) 2  x 16 x 63 28) x221 22x 29) x218x81 30) x216 x36 31) 2 5x 125 32) 2  x 20x 36 33) 36 x224x4 34) x216 x36 35) x220x36 36) 2  x 39 16 x 37) 2  x 13x 12 38) 10x39x2 39) 2x22x60 40) x210x39 41) 2  x 6 x 9 42) 36 x216 43) 4x2 1 44) 2x2 26 x24 45) y2 y 12 46) 27 z212 47) 2  16t 24t 9 48) 3u218u27 49) 1 4x 2 50)



2x 7



2x 7



51) 2  x 4x 4 52) x x



1



53) 2 x 100 54) 2 x 100 55)



2x1 3x



100



56)



x10



x20



57) 2 x 1 58)  x2 4x32 59) 4z28z4 60) 4x225 61) 6 x2 12x6 62) 2  12 y 12 y 3 63) 2  45t 30t 5 64) 18x 2 12x2 65) 4x216 x84 66) 2x220x48 67) 2x218x40 68) 2   3x 3x 60 69) 4x228x48 70) ax24ax5a 71) 2cx218cx28c 72) 3kx212kx 63k 73) 2 2 2  2 4m x 40m x 96m 74) 3a x2 2 3a x2

Exercice 5

Développer à l’aide des identités remarquables.

Exemples : i)



2x 3

  

2  2x 2 2 2x 3 3  2 4x212x 9 ii)







2 2 2 y8 y8  y 8  y 64 1)



x2



2 2)



x 3



2 3)



y5



2 4)



y7



y 7



5)



x21 x



2 1



6)



3y 3



2 7)



4z4



4z4



8)



6b21



2 9)



4m 3



2 10)



5s2



2 11)



2a2 1



2 12)



x2  5



x2 5



13)



x323



2 14)



x2



x12



15)



a 1 a 1 a









21 a



4  1



16)



a26



a24



17) 2 1 7a 2  _      18)



ax21 ax



219



19)



4a424



2 20)



6ax a 2



6axa2



21)



9z2 9z



2



22) 10 x 1 10 x 1 10 10  _  _        23)



x 1 x





2 1 x 1









24)



x2



x2





x4 16



x2 4



25)



x21 x



21 x



4 8



26) 1 1 1 2 2 a 3 a 3 a 3 2 2 4  _  _  _          27)



0,1w 5 0,1w 5 0,01w









252



Exercice 6

a) Développer les produits suivants et compléter le tableau des coefficients s’y rattachant : 0 1 2 2 2 3 4 5 6 ( a b ) 1 1 ( a b ) a b 1 1 ( a b ) a 2ab b 1 2 1 ( a b ) ... ... ( a b ) ... ... ( a b ) ... ... ( a b ) ... ...                 

b) Y a-t-il une règle pour déterminer les puissances et les coefficients des termes de ces sommes ? Si oui, laquelle ?

1.3 Les équations

Considérons l'égalité : 6x 7 = 2x + 5 . Pour quelles valeurs de x cette égalité est-elle vérifiée ? C'est le genre de problème que nous allons résoudre dans ce chapitre.

L'égalité 6x 7 = 2x + 5 est une équation. Définition

Une équation est l’énoncé d’une égalité entre deux expressions algébriques, dans lesquelles figurent une ou plusieurs variables qui prennent le statut d’inconnues.

•

Résolution d’une équation

Exemple 6 x 7 2x5 donnée 6 x 7 2x 5   + 7  + 7 additionner +7 6 x 2x 12    réduire 6 x 2x 12  - 2x  - 2x soustraire 2x 4x 12   réduire 4 x 12   4 4 diviser par 4 x 3   réduire Contrôle

x3 dans le membre de gauche : 6  3 7 18 7 11 x3 dans le membre de droite : 2   3 5 6 5 11

Conclusion : x3 est l’unique solution de l’équation. On note : S{ 3}

Le principe général utilisé pour résoudre une équation, c'est remplacer l’équation donnée par des équations équivalentes de plus en plus simples jusqu'à isoler l'inconnue.

6x



7

=

2x+5

+7

=

+7



2x

=



2x

•

Principes d’équivalence pour résoudre une équation

Pour passer d'une équation équivalente à une autre il faut respecter les principes suivants : Principe 1)

On peut additionner (ou soustraire) une même expression aux deux membres d’une équation.

Principe 2)

On peut multiplier (ou diviser, mais pas par 0) par une même expression ne contenant pas l’inconnue les deux membres d’une équation.

Remarques

1) Les principes d’équivalences se résument de la manière suivante :

Effectuer les mêmes opérations à droite et à gauche de l’égalité. L’illustration souvent retenue est "une balance qui doit rester en équilibre".

2) Ne pas multiplier ou diviser les deux membres de l’équation par l’inconnue . Exemples

a) x 1 2  x( x 1) 2x  multiplication par l’inconnue  ajoute une solution b) x2 x 0  2 x x 0 x x  _{  x 1 0 }

division par l’inconnue  perte d’une solution

c) 2x 3x  2x 3x

x  x  2 3 division par l’inconnue  l’égalité n’est plus vraie

et perte d’une solution

A

=

B

_

A + C

=

B + C

Exercice 7

Résoudre les équations polynomiales du 1er _{degré suivantes (réponses en valeurs exactes).}

Indications : Lors de la résolution des équations doivent figurer toutes les étapes de calculs (addition, soustraction, multiplication, etc..) et le contrôle des solutions.

1) 2x 4 6 x14 2) 3 t 7t  8 3) 6 x 0 4) 10 y 7 10 y 7   5) 2 y 8 2 y 6) 3 t 7







5 3 t



 



2t6 7)



x 1

 

x2

 

 x 1



6 3x



2



0 8) 2 2 x 3 4 2 x3 9) R  3  R 2 10) 0,25R 2 0,75R 5 11) 14x28x 2 14x26 12) x 6 x 3 6 4  _  13) 3 R



5



6 R 7 4   14) x 3 x 1 6   4 15) t 13t 5t 152 9 10 18  16) 4 x



x 4



x 3 5x 1 4 2 6  _{  }  _  17) 3axb (inconnue : x ) 18) a c



x



b d



x



(inconnue : x) 19) x 1 2x 4 x x 3 7 2 21  _  _{ }  20) 3x183 x



6



21) 4 x



249



61



2x5



2 22)



t1 t



2

 

 t 3 t



4



10 23) x 1 1 x 3 7 x x 3 5 4 2 2 5 2 8  _   _  _  _     24) 2x 1 5 x 2 1 x 1 3 5 3  _  _{ }  Exercice 8

Résoudre ces équations mentalement.

1) 2( x 1) x 2) 3x 1 2x 3) 1004502x 4) x2x5 5) 4 x 1 8 2  _ 6) 5( x1) 7 x  5 2x 7) 7 x210 8) 1 2x 5 Exercice 9

Un étudiant a obtenu en français les notes suivantes : 3.5 , 4.5 , 4.5 , 3 , 2.5 et 5.5. Quelle note doit-il encore avoir pour obtenir une moyenne de 4.5 ?

Exercice 10

Yannick possède des CD : un quart est constitué de CD de rock, deux tiers de CD de rap et tous les autres sont des CD de techno. Yannick a quatre CD de techno. Combien Yannick possède-t-il de CD au total ?

Exercice 11

Actuellement, l’âge de M. Dupont est le double de celui de Frédéric. Dans cinq ans, ils auront à eux deux 70 ans. Quel est l’âge de M. Dupont ?

1.4 Systèmes d'équations linéaires

Définition

On appelle système d'équations un ensemble d'équations qui doivent être résolues

simultanément. Les équations composant le système peuvent comporter plusieurs inconnues. Exemples a) 2x y 4 x 2 y 2        et x y 5 x y 1     _

 sont des systèmes de 2 équations à 2 inconnues.

b) 2x y 4 x 2 y 2 x y 7            

est un système de 3 équations à 2 inconnues.

Remarque On signale un système d'équations par une accolade placée à gauche des équations.

Résolution par « triangulation » d’un système d’équations linéaires 2 x 2

Exemple 1 2 2x y 4 L x 2 y 2 L        Donnée :

Un système linéaire de 2 équations à 2 inconnues.

1 1 1 2 2 2x y 4 L L 5x 10 2 L L L            

On décide de conserver la première équation

et d’éliminer l’inconnue y dans la deuxième équation. Nous avons triangulé le système d’équations linéaires. 2x y 4 x 2      _ 

On peut trouver facilement la solution d’un système triangulé.

En effet, la deuxième équation d’un tel système est une équation à une inconnue en x.

y 0 x 2     _ 

On substitue maintenant dans la première équation la valeur de x et on trouve y.

La première équation d’un tel système est une équation à une inconnue en y. 2 2 0 4 ok ! 2 2 0 2 ok !          Vérification.

S



 

2;0



Le système admet une solution, qui est un couple de nombres.

Définition

Un système d’équations linéaires est dit triangulé si chaque équation de ce système possède une inconnue de moins que la précédente, la dernière équation ne possédant qu’une seule inconnue.

Exercice 12

Résoudre les systèmes d’équations linéaires 22 suivants en utilisant la méthode de la « triangulation ». (Réponses en valeurs exactes).

Lors de la résolution des systèmes d'équations doivent figurer :  toutes les étapes de calculs.

 le contrôle des solutions.

1) 7x 12y 3 5x 8y 31        2) x y 16 13x 11y 16     _{ }  3) 11a 9b 98 6a b 18          4) 5x+2y 35 4x+3y 21       5) 11x 8y 59 5x 3y 13      _{ }  6) 15a 14b 27 3a 14b 45     _{  }  Exercice 13

Un champ rectangulaire a un périmètre de 632 mètres.

Calculer ses dimensions sachant que la longueur mesure 24 mètres de plus que sa largeur.

Exercice 14

La recette d'un cinéma s'élève à 13'450 F ; les places sont à 30 F et à 40 F.

30 personnes ont mangé une glace et 50 personnes du popcorn. Sachant qu'il y a eu 400 places vendues, déterminer le nombre de places de chaque espèce.

Exercice 15

Un entrepreneur doit déplacer 460 tonnes de terre : il dispose de 2 camions, l'un pouvant transporter 5 tonnes et l'autre 3 tonnes ; il désire effectuer 100 transports. Combien de fois doit-il utiliser chaque camion ?

Exercice 16

Un diététicien hospitalier veut préparer un plat de 10 unités de viande et de légume qui donnera 7 g de protéines. Si une unité de légume fournit 0,5 g de protéines et une unité de viande 1 g de

protéines, combien de chaque produit doit-il utiliser?

Exercice 17

La largeur d’une piscine rectangulaire est égale au 3/4 de sa longueur. Cette piscine est entourée d’une allée large de 3 m. L’aire de l’allée est de 246 m2 _.

1.5 Corrections des exercices

Correction Exercice 1 a)

1) Les nombres impairs : 2n1

car si n est un entier naturel n



0,1,2,3,4,...



alors 2n 1



1,2,3,5,7,9,...



2) Les multiples de 3 : 3n

3) Les multiples de 5 : 5n

4) Les multiples de  : n 5) Les multiples de 2 : 2 n

6) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 3 : 10n3



10nmultiple de 10



7) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 23 : 100n23



100nmultiple de 100



8) Les nombres entiers positifs qui se terminent par 570 : 1000n570



1000nmultiple de 1000



b) 1) 2a2b 2) 2xy2xz2 yz 3) 5 r 2 4) 91x2 5)x3y3 6) 9c 7) y2x2 8) 2 d 2 9) 3 2 d 2 10) 2 r 2 3r 2 r 6 r 8 r

11) Aire totalePérimètre( base ) hauteur  2 Aire( base )

 

2 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 A x x x x x x x 2 x x x x 3 3 3 3 3 3 3 3 2 1 2 8 10 34 4x x 2 x x x x x 3 3 9 3 9 9       _      _{ } _ _    _            _{ } _  _       12) V  2 3x x y



 



 x



2 y2x



 y 6 x y2 2xy22x y2  4 x y2 2xy2

Correction Exercice 2 1) x2



x 1 



x2  x 1 Coeff : c₂1 ;c₁1 ;c₀  1 deg( P ) 2 2) 2x2



x22



2x2 x2 2 3x2  2 Coeff : c₂3 ; c₀ 2 deg( P ) 2 3)



3x24







x1



2 3x2 4 x2 2x 1 4 x22x 3 Coeff : c₂4 ;c₁2 ;c₀ 3 deg( P ) 2 4)



x29 x14







x4



x29 x14  x 4 x28 x10 Coeff : c₂1 ;c₁ 8 ;c₀10 deg( P ) 2 5)



x211x28







2x2



2 x211x28



4 x28 x4



 3x23x24 2 1 0 Coeff : c  3 ;c  3 ;c 24 deg( P ) 2 6)



z2 z

 

zz3



z2  z z z3   z3 z2 Coeff : c₃ 1 ;c₂1 deg( P ) 3 7) 4_



t21



2 



1 t



2_4_



t42t2    1

 

1 2t t2



_ 4t4 12t28t   Coeff : c₄4 ;c₂ 12 ;c₁8 deg( P ) 4 8)



y 1





y2 y 1



  y 1 y2  y 1 y2 2 Coeff : c₂1 ; c₀2 deg( P ) 2 9)



x1



2



x2  x 1



x22x 1 x2  x 1 2x2  x 2 Coeff : c₂2 ;c₁ 1 ;c₀2 deg( P ) 2 10) 



x6 3x3 9

 

 x33



  x6 3x3 9 x3   3 x6 2x312 6 3 0 Coeff : c  1 ;c  2 ;c  12 deg( P ) 6 11) 2x 1 3 x 1



x 2



2x 1 3 x 1 x 2 3 5 3 3 5 5    _{ } _{        }         2x 1x x 1 3 1 2 2 1 1 x 1 5 1 10 3 15x 5 75 3 3 5 3 5 3 5 3 5 15 15              _   _        28x 83 15 15   Coeff : c₁ 28 ;c₀ 83 deg( P ) 1 15 15    

12) 2 2 3x 4 x 1 3x 4 2 4 2  _  _{ } 2 2 2 2 1 x 1 3 1 1 3 1 8 1 x x 2 x x 4 4 2 4 4 2 4 4            3x2 1x 7 2 4 4    Coeff : c₂ 3 ;c₁ 1 ;c₀ 7 deg( P ) 2 2 4 4      13) 7



2x 3



2x 3 1 7 2x 7 3 2 4 2 4 4          x 2 3 14 1 2    7 4 2 21 3 x x 1 4 2     7 21 3 7 21 3 7 2 21 6 4 9 11 x x 1 1 x 1 x x 2 4 2 2 4 2 2 4 2 4           _  _          Coeff : c₁ 9 ;c₀ 11 deg( P ) 1 2 4    14) 2



t 1

 

2t 6

 

4 t 5



2t 2 2t 6 4t 20 3t 2t 4t 2 6 20 3       3  3     2     3 2 6 t 2 14 16t 40 3 3 3 3   _  _        1 0 16 40 Coeff : c ;c deg( P ) 1 3 3     15)













2 2 2 3 2 3 2 3 2 x x x 5 x 1 x 2x 1 x 1 x 3x 3x 1 x x 3x 1 2    2      2      2   Coeff : c₃ 1 ;c₂ 5 ;c₁ 3 ;c₀ 1 deg( P ) 3 2       16)



3 y 1



1 2 y 6 y 5 3 y 1 2 2 8 3       _  _     y 6 3 2 y 5 y 3 y 5 3 y 1 2 3 8 8 6 6 8           3 y 1 y 1 y 1 3 5 3 1 1 y 1 3 5 72 3 4 y 24 9 20 8 6 8 6 8 6 8 6 24 24             _   _        73 y 53 24 24   Coeff : c₁ 73 ;c₀ 53 deg( P ) 1 24 24     17) x 1 x 2 x 3 x 4



x 1



x 2



x 3



x 4 2 3 4 5 2 3 4 5                   x 1 x 2 x 3 x 4 30



x 1



20 x



2



15



x 3



12 x



4



2 3 4 5 60                     30 x 30 20 x 40 15x 45 12x 48 13x 13 13 x 13 60 60 60 60              1 0 13 13 Coeff : c ;c deg( P ) 1 60 60    

Correction Exercice 3 1) x2



x 1 



x3x2 Coeff : c₃1 ;c₂ 1 deg( P ) 3 2) 2x2



x22



 2x44 x2 Coeff : c₄ 2 ;c₂ 4 deg( P ) 4 3)



3x24





x 1



3x33x24 x 4 Coeff : c₃3 ;c₂3 ;c₁ 4 ;c₀ 4 deg( P ) 3 4)



x29 x14





x4



x34 x2 9 x236 x14 x56 x313x250 x56 3 2 1 0 Coeff : c 1 ;c  13 ;c 50 ;c  56 deg( P ) 3 5)



z2z



zz3



z3z5z2 z4   z5 z4z3z2 Coeff : c₅ 1 ;c₄ 1 ;c₃1 ;c₂ 1 deg( P ) 5 6)



t21 1 t









2 



t21 1 2t



 t2



 t2 2t3  t4 1 2t t 2  t4 2t3  2t 1 Coeff : c₄ 1 ;c₃ 2 ;c₁2 ;c₀ 1 deg( P ) 4 7)



y1



2



y2   y 1

 

y22 y1



y2  y 1



 y4y3 y2 2 y32 y22 y y2  y 1 y4 y3  y 1 Coeff : c₄ 1 ; c₃1;c₁1 ; c₀1 deg( P ) 4 8)



x1 x





2  x 1



x3x2 x x2 x  1 x3 1 Coeff : c₃1 ;c₀ 1 deg( P ) 3 9)



x6 3x39



x33



x9 3x6 3x6 9 x3 9 x3 27  x927 9 0 Coeff : c 1 ;c  27 deg( P ) 9 10) x 1



x



2x 1





xx2







2x 1



2x2 x 2x3x2  2x3x2 x 3 2 1 Coeff : c  2 ;c 1 ;c 1 deg( P ) 3 11) x2



x2 2x



3







x32x2







2x3



2x43x34 x36 x2  2x4x36 x2 4 3 2 Coeff : c 2 ;c 1 ;c  6 deg( P ) 4 12)



1x



2x



x3







2 x 2xx2





x3







x23x2





x3



 x36 x211x 6 Coeff : c₃1 ;c₂ 6 ;c₁11 ;c₀ 6 deg( P ) 3

13) 3 t



2



2 9 3 t



2 t



2



 9 3 t



2 4t 4



 9 3t212t21 Coeff : c₂3 ;c₁12 ;c₀ 21 deg( P ) 2 14) 4 x



2



2  6 4 x



2



x2



  6 4 x



24 x4



  6 4 x216 x22 Coeff : c₂ 4 ;c₁16 ;c₀  22 deg( P ) 2 Correction Exercice 4 1) x214x49



x 7 



2 2) 2  











x 16 x 63 x 9 x 7 3) 2  











x 9 x 3 x 3 4) 4x220x25



2x 5 



2 5)  2 











4 x 2 x 2 x 6) 2   











x 20x 21 x 21 x 1 7) 2   











x 11x 30 x 5 x 6 8) 36 x2 24x 4 4 3x



1



2 9) 2x226 x242 x



1



x12



10) 9t249



3t7



3t 7



11) x22x63



x9



x 7



12) 2x2722 x



6



x6



13) 2   











x 10 x 39 x 3 x 13 14) 2   











x 12 11x x 1 x 12 15) 9x2  4



3x2



3x2



16) x2 24x144



x12



2 17) x2 22x21



x1



x21



18) 16 x2x2322 x 4







2 19) 16t264t6416 t



2



2 20) v211v30



v6



v5



21) 2  











2a 14a 24 2 a 4 a 3 22)   2  











12 x 11x x 12 x 1 23) 9x2 12x 4



3x2



2 24) 2  











3x 21x 36 3 x 3 x 4 25) 2  











4x 4x 120 4 x 6 x 5 26) 2   











x 20x 21 x 21 x 1 27) 2   











x 16 x 63 x 7 x 9 28) 2   











x 21 22x x 1 x 21 29) x2 18x81



x9



2 30) 2   











x 16 x 36 x 18 x 2 31) 5x21255 x



5



x5



32) x2 20x36 



x18



x2



33) 36 x2 24x 4 4 3x



1



2 34) x2 16 x36 



x18



x2



35) x2 20x36 



x18



x2



36) x2 3916 x



x3



x13



37) x2 13x12



x1



x12



38) 10 x39x2 



x13



x3



39)  2   

 









2x 2x 60 2 x 6 x 5 40) 2   











x 10 x 39 x 13 x 3 41) x2 6 x 9



x3



2 42) 36 x2 16 4 3x



2



3x2



43) 2  











4 x 1 2x 1 2x 1 44)  2   

 









2x 26 x 24 2 x 1 x 12 45) 2  











y y 12 y 4 y 3 46) 2 











27 z 12 3 3z 2 3z 2 47) 16t224t 9



4t3



2 48) 3u218u27 3 u 3







2 49)  2 











1 4 x 1 2x 1 2x 50)



2x 7



2x 7



Déjà factorisé 51) x2 4x 4



x2



2 52) x x



1



Déjà factorisé

53) x2100x2102 Pas factorisable car de la forme x2 a2

54) 2 











x 100 x 10 x 10 55)



2x1 3x



100



Déjà factorisé 56)



x10



x20



Déjà factorisé

57) x2 1 x2 12 Pas factorisable car de la forme x2a2

58)  2   

 









x 4x 32 1 x 4 x 8 59) 4z28z 4 4 z 1







2 60) 4x225

 

2x 2 Pas factorisable car de la forme 52 x2a2

61) 6 x212x 6 6 x



22x 1 



6 x 1







2 62) 12 y212 y 3 3 4 y



2 4 y 1



3 2 y



1



2 63) 45t230t 5 5 9t



2  6t 1



5 3t



1



2 64) 18x 2 12x 2 2 9x



26 x 1 



2 3x 1







2 65) 4x216 x 84 4 x



24x21



4 x 3 x 7











66) 2x2 20x 48 2 x



2 10x24



2 x



2



x 12 



67) 2x218x402 x



5



x4



68) 3x23x603 x



5



x4



69) 2  











4x 28x 48 4 x 4 x 3 70) 2  











ax 4ax 5a a x 1 x 5 71) 2   











2cx 18cx 28c 2c x 2 x 7 72) 3kx212kx63k 3k x



3



x 7



73) 4m x2 240m x 96m2  2 4m2



x210x24



4m2



x2



x 12 



74) 3a x2 23a x2 3a x x2



1



Correction Exercice 5 1) ( x2 )2x24x 4 2) ( x3 )2x26 x 9 3) 2 2 ( y5 ) y 10 y25 4) 2 ( y 7 )( y 7 )  y 49 5) 2 2 4 ( x 1)( x 1)x  1 6) 2 2 ( 3y3 ) 9 y 18 y 9 7) 2 ( 4z4 )( 4z4 )16z 16 8) 2 2 4 2 ( 6b 1) 36b 12b  1 9) 2 2 ( 4m 3 ) 16m 24m 9 10) 2 2 ( 5s2 ) 25s 20s 4 11) 2 2 4 2 ( 2a 1) 4a 4a  1 12) ( x2 5 )( x2 5 ) x45 13)



x3 23



2 x6 2x 23 326  x6 16 x364 14) ( x2 )( x 12 ) x210x24 15) ( a1 )( a1 )( a21 )( a4 1 )( a21 )( a21 )( a4 1 )( a4 1 )( a4 1 ) a82a41 16)



a26



a24



a4 10a224 17) 2 2 1 1 7a 49a 7a 2 4  _  _{  }     18) ( ax21)( ax219 )a x2 420ax219

19)



4a4 24



2= 16a88a 2 +2 = 16a4 4 8 8 128a +2564 20)



6ax a 2



6axa2



36a x2 2 a4

21) ( 9z2 )( 9z2 )81z2 4 22) 10 x 1 10 x 1 100 x2 1 10 10 100  _  _ _{ }       23) ( x1 )( x21 )( x1 )



x21 x



2 1



x4  1 24) ( x2 )( x2 )( x416 )( x24 )



x24



x24



x4 16

 

 x416



x4 16



 

₄ 2

 

2 ₈ x 16 x 256     25) ( x21 )( x21 )( x48 )



x4 1 x



4 8



 x89 x4 8 26)

 

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 1 1 1 1 1 1 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 3 a 81 2 2 4 4 4 4 16  _  _  _  _{ }  _  _  _{  }                   27)



0,01w 5 0,01w



5 0,01w





252

 

 0,01w252



0,01w252



 0,0001w4 625

Correction Exercice 6 a)





0 ab  1 1





1 a b  ab 1 1





2 ab  2 2 a 2ab b 1 2 1





3 ab  3 2 2 3 a 3a b 3ab b 1 3 3 1





4 ab  a4 4a b 6a b3  2 24ab3b4 1 4 6 4 1





5 ab  5 4 3 2 2 3 4 5

a 5a b 10a b 10a b 5ab b 1 5 10 10 5 1





6

ab  6 5 4 2 3 3 4 2 5 6

a 6a b 15a b 20a b 15a b 6a b b 1 6 15 20 15 6 1 ………..

b) La somme des puissances de chaque terme du développement de



a b



n est constante et égale à n. Exemple :





3 3 2 1 1 2 3 3 3 2 1 1 2 a b a 3a b 3a b b       

Les coefficients du développement de



a b



n s’obtiennent en additionnant deux à deux les coefficients du développement de



ab



n 1 Exemple : 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1

La somme des coefficients du développement de



a b



n vaut 2n _.

Exemple : 1 = 1 = 20 1 + 1 = 2 = 21 1 + 2 + 1 = 4 = 22 1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32 = 25 1 + 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1 = 64 = 26 + + + + = + + = = = = =