E330 – L’énigme de la Bête [*****]
Diophante choisit secrètement deux nombres entiers positifs puis il donne à Hippolyte leur produit et à Théophile leur somme,chacun d’eux étant informé de la nature du nombre reçu par son voisin.
L’un des deux amis dit à l’autre :
- « Tu n’es pas en mesure de deviner le nombre que j’ai »
- « Erreur, lui répond l’autre, ton nombre est celui de la Bête (i.e. 666) » Quels sont les deux nombres choisis par Diophante ?
Solution proposée par Vincent Derouet
Les deux nombres choisis par Diophante sont 665 et 1 et cette solution est unique.
Tout d'abord Théophile qui a la somme (qu'on note S) des 2 nombres (qu'on note x et y avec x>=y) n'a aucun moyen de deviner le nombre de Hippolyte (P) sauf si S=0, alors x=y=0 ou S=1 alors x=1 et y=0.
Mais il est évident que ce n'est pas le cas ici car P et S seraient différents de 666.
Donc c'est Hippolyte qui devine le nombre de Théophile. D'où S = 666 et donc x = 666 – a, y
= a et P = (666 – a)*a avec 0=<a=<333
De plus Hippolyte ne peut deviner d’entrée de jeu x et y et donc S qu’à une seule condition : si P est premier.
Si P est non premier, il existe k<p et q<p tel que p = k*q et en plus on a p = p*1.On a donc 2 possibilités et on ne sait pas laquelle choisir.
Si P est premier alors forcément x = P et y = 1 et dans ce cas S = P + 1.
Or Théophile dit que Hippolyte ne peut pas deviner son nombre. Donc Théophile en déduit que S – 1 n'est pas premier car si S – 1 était premier,Théophile en déduirait qu’on peut avoir x
= S – 1 et y = 1, d’où P = S – 1 et alors Hippolyte devinerait S.
Après la déclaration de Théophile, Hippolyte trouve S. Cela veut donc dire que parmi tous les couples x et y possibles pour Hippolyte, c'est à dire les x et y tels que x*y = P, il n'existe qu'un seul et unique couple tel que S – 1 ( = x + y – 1) n'est pas premier. S’il y avait plusieurs couples dans ce cas, il y aurait plusieurs choix possibles pour S.En effet, si (w,z) différent de (x,y) et w*z = x*y alors w + z différent de x + y, et donc Hippolyte ne peut pas deviner S.
Or P=(666-a)*a
- si a = 0 alors P = 0 et il est impossible pour Hippolyte de trouver S.
- si 1<a=<333 P = (666 – a)*a
on cherche les couples qui vérifient x*y=P
x = 666 – a et y = a conviennent et S – 1=665 n'est pas premier
x= P et y = 1 conviennent et S – 1=P n'est pas premier car P est divisible par a (et a>1) Donc quand Hippolyte a au moins deux choix possibles pour S, il n'est pas en mesure de trouver S.
- il ne reste plus que le cas x = 665 et y = 1
Vérifions que Hippolyte peut deviner S si P = 665 d'après la déclaration de Théophile (S-1 n'est pas premier)
Si P = 665 = 19*7*5 alors Hippolyte a 4 couples possibles:
--665 et 1 : alors S – 1 = 665 non premier --133 et 5 : alors S – 1 = 137 premier --95 et 7 : alors S – 1 = 101 premier --35 et 19 : alors S – 1 = 53 premier
Donc si Hippolyte sait que S – 1 n'est pas premier, il en déduira que x = 665, y = 1 et donc S
= 666.
On en déduit qu’après la déclaration de Théophile,Hippolyte ne peut déclarer S = 666 que si les nombres choisis par Diophante sont 665 et 1
