Diophante A373 Les nombres en or Q1
f @ 1,618. f2 = f + 1 @ 2,618. f-1 = f - 1 @ 0,618. f-2 = 2 - f @ 0,382.
2 = f + (2 - f) = f1 + f-2
3 = 2 + 1 = f1 + f0 + f-2 (ou f2 + f-2) Q2
Soit la suite de Fibonacci définie par Fn+2 = Fn+1 + Fn, F0 = 0 et F1 = 1. F-n = (-1)n+1Fn. fn = Fnf + Fn-1.
Afin de trouver une représentation en or d’un entier naturel, commençons par la plus grande puissance de f qui lui est inférieure puis continuons.
f15 + f13 + f10 + f4 + f2 = (F15 + F13 + F10 + F4 + F2)f + (F14 + F12 + F9 + F3 + F1) = (610 + 233 + 55 + 3 +1)f + (377 + 144 + 34 + 2 + 1) = 902f + 558 @ 2017,467.
f-2 + f-4 + f-11 + f-16 = (- F2 - F4 + F11 - F16)f + (F3 + F5 - F12 + F17) = (- 1 - 3 + 89 – 987)f + (2 + 5 - 144 + 1597) = - 902f + 1460 @ 0,533.
2018 = f15 + f13 + f10 + f4 + f2 + f-2 + f-4 + f-11 + f-16
2019 = 2018 + 1 = f15 + f13 + f10 + f4 + f2 + f0 + f-2 + f-4 + f-11 + f-16 Q3
La propriété est triviale lorsque l’entier naturel est 0 ou 1, et nous l’avons démontrée lorsqu’il est 2 ou 3. Démontrons-la par récurrence en supposant qu’elle est vérifiée pour E.
Si la décomposition de E ne comporte pas f0, il suffit de l’ajouter pour passer de E à E + 1 (nous l’avons fait pour passer de 2018 à 2019).
Si la décomposition de E comporte f0, elle ne comporte pas f1 ni f-1 car notre processus garantit qu’il n’y a jamais deux puissances consécutives (s’il y avait fr+1 et fr, il y aurait eu fr+2 juste avant puisque c’était possible). Remplaçons f0 + 1 = 2 par f1 + f-2. f1 comble la place vide.
Si la décomposition de E comporte f-2, remplaçons f-2 + f-2 = 2f-2 par (f1 + f-2)f-2 = f-1 + f-4. f-1 comble la place vide.
Si la décomposition de E comporte f-4, remplaçons f-4 + f-4 = 2f-4 par (f1 + f-2)f-4 = f-3 + f-6. f-3 comble la place vide (à côté du f-2 initial).
Etc. (le cas échant, jusqu’au plus petit terme de la décomposition, c’est-à-dire jusqu’à l’exposant négatif le plus grand en valeur absolue)
Tous les entiers naturels admettent une représentation en or.
Note : en utilisant les propriétés de l’anneau commutatif intègre ℤ[f], nous aurions obtenu le résultat plus rapidement, mais nous avons préféré dérouler un raisonnement moins
conceptuel.
Jean-Louis Legrand
