COLLEGE LES SAPINS MATHEMATIQUES PD1 @N.S.A
PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES 15.5 POINTS Exercice 1 6 POINTS
1. Dans ℝ3 on considère le système linéaire suivant (𝑆): {
−𝑥 − 𝑦 − 𝑧 = 6 4𝑥 + 2𝑦 + 𝑧 = 7
−25𝑥 + 5𝑦 − 𝑧 = 0
Déterminer le triplet (𝑥; 𝑦; 𝑧) solution de (𝑆). 1pt 2. En remarquant que 𝜋
12=𝜋3−𝜋4, donner les valeurs exactes de cos 𝜋
12 et sin 𝜋
12 1pt 3. a) Montrer que (√2 + √3)2 = 5 + 2√6 0.5pt
b) Résoudre dans ℝ l’équation 4𝑡2+ 2(√2 − √3)𝑡 − √6 = 0 1.25pt c) En déduire dans [0; 2𝜋[ les solutions de l’équation 1.5pt
(𝐸): 4𝑠𝑖𝑛2𝑥 + 2(√2 − √3)𝑠𝑖𝑛𝑥 − √6 = 0
4. Placer sur le cercle trigonométrique les points images des solutions de l’équation (𝐸) et donner la nature du polygone obtenu (unité 3cm) 0.75pt Exercice 2 4 POINTS
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (𝑂, 𝐼, 𝐽). Soient 𝐴(−21), 𝐵(21) et 𝐶(−13)
1. a) Déterminer les coordonnées du point 𝐼 milieu du segment [𝐴𝐵] 0.5pt b) Soit 𝑀 un point du plan. Exprimer 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ en fonction de 𝐼𝑀 𝑒𝑡 𝐴𝐵 0.75pt c) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de l’ensemble (∁) des points 𝑀 du plan tel que 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 𝑀𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = 0 1pt d) Donner une équation cartésienne de (∁) 0.75pt 2. Déterminer les coordonnées du point 𝐺, barycentre des points pondérés (𝐴; 2) ,
(𝐵; −5) et (𝐶; 1) 0.5pt
3. Donner une représentation paramétrique de (∁) 0.5pt
Exercice 3 5.5 POINTS
Le plan est rapporté à un repère orthonormé (𝑂, 𝐼, 𝐽). On considère la fonction 𝑓 définie par 𝑓(𝑥) =𝑥2+𝑥+2
𝑥−1 de courbe représentative (𝑐𝑓).
1. Donner en justifiant le domaine de définition de 𝑓 0.5pt
2. Calculer les limites de 𝑓 en 1, +∞ 𝑒𝑡 − ∞ 1pt
3. Déterminer trois réels 𝑎, 𝑏 𝑒𝑡 𝑐 tel que 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 + 𝑐
𝑥−1 1pt 4. En déduire que (𝑐𝑓) possède deux asymptotes dont on déterminera les équations
cartésiennes dans le repère (𝑂, 𝐼, 𝐽). 1pt 5. Montrer que le point 𝐼(1; 3) est centre de symétrie à (𝑐𝑓). 0.75pt
ANNEE SCOLAIRE 2019/2020 EVALAUTION DE LA TROISIEME PERIODE
EPREUVE DE : Mathématiques CLASSE:
PREMIERE D1 Durée : 3H00 Coefficient : 4
S
FONDATION BILINGUE LES SAPINS/COLLEGE BILINGUE DE L’EXACTITUDE Enseignement Maternel – Primaire - Secondaire Général et Technique Commercial
Francophone and Anglophone Section/Secondary and Technical Education
Tél: 222 02 58 17. E-mail: rsisanaga@yahoo.fr. Site web: www.ges-c.com
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6. Résoudre dans ℝ l’inéquation 𝑥2+𝑥+2
𝑥−1 > 0 et interpréter graphiquement le
résultat obtenu 1.25pt
PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES 4.5 POINTS
SITUATION :
Des amis entrent dans un restaurant situé dans un jardin public de la ville de Yaoundé.Passent la même commande pour le même prix. Au moment de régler la facture qui s’élevait à 21.000 frs CFA, l’un constate la disparition de son portefeuilles et les autres sont obligés de payer 500F de plus chacun.
Pour renforcer la sécurité dans ce jardin ayant la forme d’un triangle rectangle, d’aire 429𝑚2 et dont l’hypoténuse mesure 72,5𝑚, les autorités de la municipalité décident de : 1. Entourer le jardin par du fils de fer électriques dont le mètre coute 8.500Frs CFA.
2. Placer aux abords du jardin trois lampadaires pour éclairer les trois allées du jardin commandées par un unique point d’allumage placé à l’intersection des trois allées.
L’ingénieur en charge des travaux propose en maquette un triangle rectangle 𝐴𝐵𝐶 avec des points 𝐼, 𝐽, 𝐾, 𝐺 tels que 𝐴𝐼⃗⃗⃗⃗ =1
3𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ ; 𝐶𝐽⃗⃗⃗⃗ =1
4𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗ et 𝐶𝐾⃗⃗⃗⃗⃗ =2
5𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗ . Ou 𝐼, 𝐽, 𝐾 représentent les lampadaires, les droites (𝐴𝐽), (𝐵𝐾) 𝑒𝑡 (𝐶𝐼) les allées et 𝐺 le point d’allumage.
TACHES :
Tache 1 : Déterminer le nombre d’amis et le prix du repas consommé 1.5pt Tache 2 : Dire en justifiant si la consigne de la municipalité est respectée 1.5pt Tache 3 : Combien dépensera la municipalité pour l’achat de fils de fer électrique nécessaire pour entourer le jardin 1.5pt
