DIOPHANTE D1838

DIOPHANTE D1838 ¹

UN CERCLE PASSANT PAR UN MILIEU

proposed by

Philippe Fondanaiche

VISION

Figure :

A

B C

D E

F L

M 0

1b

X 1l

Traits : ABCD un carré,

0 le cercle circonscrit à ABC,

D un point de l'arc BC ne contenant pas A,

E le point de (AB) dans l'ordre A-B-E tel que BE = BD, F le point de (AC) dans l'ordre A-C-F tel que CF = CD, 1b le cercle circonscrit au triangle B-isocèle BDE, L le second point d'intersection de 1b avec (EF), 1l le cercle circonscrit au triangle LBC

et M le milieu de [EF].

Donné : 1l passe par M.

1 Fondanaiche P., Diophante, D1838 La saga des dichotomies ;

http://www.diophante.fr/problemes-du-mois/4205-d1838-la-saga-des-dichotomies-8ieme-episode

VISUALISATION

LE CERCLE GÉMELLAIRE A

B C

D E

F L

0

1b

1c

 Notons 1c le cercle circonscrit au triangle C-isocèle CDF.

 Conclusion partielle : <EBD et <DCF étant supplémentaires, 1c passe par L.

 Scolie : <BDE et <FDC sont complémentaires.

LE CERCLE ROUGE

A

B C

D E

F L

0

1b

1c 1l

 Le triangle BDE étant B-isocèle, (LB) est la bissectrice intérieure de <DLE.

 Le triangle CLF étant C-isocèle, (LC) est la bissectrice intérieure de <FLC.

 <FLD et <DLE étant adjacents et supplémentaires, <CLB est droit.

 Conclusion partielle : [BC] est un diamètre de 1l.

UNE TANGENTE A

B C

D E

F L

0

1b

X Y

1c Z

1l

 Notons X le second point d'intersection de (BD) avec 1c, et Y le second point d'intersection de (CX) avec 1l.

 D'après Auguste Miquel ''Le théorème des trois cercles concourants'' ²

appliqué à 1b, 1c et 1l concourants en L, (BY) est tangente à 1b en B.

 Conclusion partielle : d'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', le triangle YBC est Y-rectangle.

 Scolie : BDE étant B-isocèle, (BY) en est la B-bissectrice extérieure.

2 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

L'AXE MÉDIAN

 Notons Z le point d'intersection de (XY) et (AB), et N le milieu de [BX].

 Les cercles 1c et 1b, les points de base L et D, les moniennes (FLE) et (XDB), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s'en suit que (FX) // (EB).

 (BY) étant la B-bissectrice, hauteur du triangle BXZ, BXZ est B-isocèle ; en conséquence, Y est le milieu de [XZ].

 Conclusion partielle : (NY) est l'axe médian de la bande de frontières (FX) et (EB).

 Scolies : (1) (NY) passe par le milieux M de [EF]

(2) (FX), (MY) et (EB) sont parallèles entre elles.

ENFIN,

LE THÉORÈME DE REIM

A

B C

D E

F L

M 0

1b

X N

Y

1c 1l

1n

 Le cercle 1c, les points de base L et C, les moniennes naissantes (FLM) et (XCY), les parallèles (FX) et (MY), conduisent au théorème 0'' de Reim ;

en conséquence, L, C, M et Y sont cocycliques.

 Notons 1'l ce cercle.

 1'l et 1n ayant M, C et Y en communs sont confondus.

 Conclusion : 1l passe par M.