Diophante A639 – Multi-partitions
Soit un entier n ≥ 3. Démontrer qu’il existe toujours au moins un ensemble E de 2n entiers positifs distincts qui satisfont la propriété suivante : pour tout entier m = 2,3,…,n on peut réaliser une partition de E en deux sous-ensembles de même somme avec l’un des sous- ensembles de cardinal m.
Application numérique : trouver le plus grand entier n tel que les deux éléments extrêmes de E sont égaux à 1 et 2021.
Réponses:
Lorsque m = n, soit {e1, e2, e3, ... , en-1, en}, où les entiers sont rangés dans l'ordre croissant de gauche à droite, le sous-ensemble qui contient le plus grand nombre en.
Pour passer à m = (n - 1), on remplace en-2 et en-1 par leur somme.
Pour passer à m = (n - 2), on remplace en-3 et (en-2 + en-1) par leur somme.
Et ainsi de suite jusqu'au sous-ensemble {(e1 + e2 + e3 + ... + en-1), en} lorsque m = 2.
Les deux sous-ensembles de départ étaient {e1, e2, e3, ... , en-1, en}
et {(en-2 + en-1), (en-3 + en-2 + en-1), ... , (e2 + ... + en-2 + en-1), (e1 + ... + en-2 + en-1)} U {xn, yn}.
On choisit {e1, e2, e3, ... , en-1} = {1, 2, 3, ... , (n - 1)}.
Lorsque n = 3, x3 = 4, y3 = 5 et e3 = 9 conviennent.
E3 = {1, 2, 9} U {3} U {4, 5}.
Lorsque n ≥ 4, nommons Ti le nombre triangulaire 1 + 2 + ... + i = i(i + 1)/2.
Tn-1 + en = (Tn-1 - Tn-3) + (Tn-1 - Tn-4) + ... + (Tn-1 - T1) + Tn-1 + xn + yn. en = (n - 3)Tn-1 - [Tn-3 + Tn-4 + ... + T1] + xn + yn.
Rappelons que 12 + 22 + ... + p2 = p(p + 1)(2p + 1)/6.
Après calculs, en = {(n + 1)(n - 1)(n - 3)/3} + xn + yn.
On choisit xn et yn pour qu'ils ne doublent pas des entiers déjà utilisés, et suffisamment grands pour que en > Tn-1.
Par exemple, lorsque n = 4, x4 = 4, y4 = 7 et e4 = 5 + 4 + 7 = 16 conviennent.
E4 = {1, 2, 3, 16} U {5, 6} U {4, 7}.
Application numérique
Lorsque n = 19, {(n + 1)(n - 1)(n - 3)/3} = 1920.
x19 + y19 = e19 - 1920 = 2021 - 1920 = 101.
Par exemple, x19 = 19 et y19 = 82 conviennent.
E19 = {1, 2, 3, ... , 18, 2021}
U {35, 51, 66, 80, 93, 105, 116, 126, 135, 143, 150, 156, 161, 165, 168, 170, 171} U {19, 82}.
Lorsque n = 20, {(n + 1)(n - 1)(n - 3)/3}, qui croît en fonction de n, vaut 2261 > 2021.
