Diophante A384 Les égalisateurs
Soient deux entiers p et q distincts strictement positifs. L’entier n > 0 est un égalisateur de p et de q si les deux entiers obtenus en multipliant p et q par n,pn et qn,ont le même nombre de diviseurs.
Q1 Dans quel(s) cas sait-on trouver un égalisateur de :
1er cas: p = 20 et q = 81, 2ème cas : p = 1610 et q = 2019, 3ème cas : p = 1961 et q = 84323 ?[**]
Q2 Pour les plus courageux : combien y a-t-il d’entiers k positifs strictement inférieurs à 10000 tels qu’on ne sait pas trouver un égalisateur n > 0 de k et de 2019 ? Justifiez votre réponse [****].
Remarques liminaires : il est inutile que n possède un diviseur premier autre que ceux (du PPCM) de p et q ; on peut remplacer p et q par leurs quotients respectifs par leur PGCD.
Rappelons que le nombre des diviseurs d’un nombre est égal au produit des exposants de ses facteurs premiers incrémentés chacun de 1.
Q1
1er cas Un égalisateur est 30 : 20 x 30 = 23 x 3 x 52 et 81 x 30 = 2 x 35 x 5 ont chacun 24 diviseurs.
2ème cas Un égalisateur est 2 399 636 575 : 1610 x 52 x 73 x 234 = 2 x 53 x 74 x 235 et 2019 x 52 x 73 x 234 = 3 x 52 x 73 x 234 x 673 ont chacun 240 diviseurs.
3ème cas On ne sait pas trouver un égalisateur. En effet, 1961 x 43 = 84 323 et 43 ne divise pas 1961. Autrement dit, le problème revient à considérer 1 et 43, d’où une impossibilité.
Q2Si k divise 2019 ou si 2019 divise k, il n'y a pas d'égalisateur possible.
Les entiers k correspondants sont les six entiers : 1, 3 ,673, 4028, 6057 et 8076.
En effet, il n’y en n’a pas d’autre.
Dans le cas général, s'il existe, l'égalisateur n de p et de q a pour facteurs premiers l'union des facteurs premiers de p et de q, dont les exposants sont obtenus en écrivant l'égalité des nombres de diviseurs de pn et qn.
Or il est toujours possible de trouver ces exposants en remarquant que, à partir de toute fraction a/b (a > b entiers), on sait trouver un entier x tel que (a+x)/(b+x) soit de la forme (n+1)/n où n est fixé à l'avance (x = n(a-b) – b).
Jean-Louis Legrand
