A539 Les triplettes de Diophante. Trouver : Q

A539 Les triplettes de Diophante.

Trouver :

Q₁ : toutes les triplettes de nombres premiers x, y et z qui satisfont l’équation x^y + y^x = z.

Q₂ : toutes les triplettes d’entiers positifs ou nuls x,y et z tels que 3^x + 4^y = 5^z .

--- Q1) Si x et y sont tous les deux impairs, z est pair et supérieur à 2 et n'est pas premier. Donc l'un des deux nombres premiers x et y est 2, on est ramené à x²+ 2^x = z

x=1 n'est pas une solution car 1 n'est pas un nombre premier.

Si x=3 on a la solution 3² + 2³ = 17 . Dans ce qui suit x est premier supérieur à 3.

On a x = 3k+1 ou 3k-1, et x² est congru à 1 modulo 3,

et on a x impair donc 2^x est congru à 2 modulo 3. x²+ 2^x est congru à 1 + 2, Donc x²+ 2^x est multiple de 3 et n'est pas premier. La seule solution est 3²+ 2³ = 17 . Triplettes (2,3,17) ou (3,2,17)

Q2) 3^x + 4^y = 5^z . a) étude pour x>0 et y>0 : Modulo 3 il faut 5^z congru à 1 donc z est pair. z=2z'.

Modulo 4 il faut 3^x congru à 1 donc x est pair. x=2x'.

3^2x' + 2^2y = 5^2z' . Alors 3^x' , 2^y et 5^z' forment un triplet pythagoricien.

Il existe 2 entiers a et b, a>b, tels que 3^x' = a² – b², 2^y = 2ab, 5^z' = a² + b².

2^y = 2ab implique que ou bien b vaut 1, ou bien a et b sont tous deux pairs, mais il faut exclure ce dernier cas car il est incompatible avec 5^z' = a² + b². Donc b=1.

3^x' = a² - 1, 2^y-1 = a , 5^z' = a² + 1.

Si y ≥ 3, a est multiple de 4 et a² est multiple de 16, donc a²-1 est congru à -1 modulo 8, mais de son côté 3^x' n'est jamais congru à -1 modulo 8 : il est congru à 3 ou +1 . Donc y ≤ 2.

On teste y=1 puis y=2 :

y=1 , a= 1, 3^x' = 0 ne mène à rien

y=2 , a= 2, 3^x' = 3, donc x'=1, x=2, a²+1=5, 5^z' = 5, z'=1, z=2.

La seule triplette solution avec x>0 et y>0 est (2,2,2) .

b) y=0 , x>0 , z>0, 3 ^x + 1 = 5^z , n'a pas de solution car 3^x + 1 est pair et 5^z est impair.

c) x=0 , y>0, z>0, 1+ 4^y = 5 ^z , admet la solution évidente 1 + 4 = 5, y a-t-il d'autres solutions ? Dans la suite y>1 et z>1.

Si z est pair, z=2p, 5^2p - 2^2y = 1, (5^p - 2^y )(5^p + 2^y ) = 1, impossible car (5^p + 2^y ) >1 Si z est impair, z=2p+1, 5(5^p)² - (2^y )² = 1 , qu'on peut rapprocher de 5X² – Y² = 1.

Le tableau suivant résume les premières valeurs des solutions de 5X² – Y² = 1.

X 1 17 305 5473 98209 1762289

Y 2 38 682 12238 219602 3940598

avec les récurrences Xn+2 = 18Xn+1 – X n ; Yn+2 = 18Yn+1 – Y n . Or, modulo 4, on a 18 ≡ 2 et 38 ≡ 2

Dans Z/4Z , la relation Yn+2 = 18Yn+1 – Y n devient Yn+2 = 2Yn+1 – Y n .

Comme 2*2 - 2 =2 on voit que tous les Y sont de la forme 4k+2, ils ne sont jamais multiples de 4, Si k>0 ils ne sont donc pas de la forme (2^y ) : Seul le premier couple (X,Y) = (1,2) convient.

Donc 5^2p+1 - 2^2y = 1 n'a pas de solution vérifiant p > 0.

En résumé, 1 + 4^y = 5^z implique y = 1 et z = 1.

Les triplettes solution de Q2 ne sont que (2,2,2) et (0,1,1) .