Diophante D1836 Aux couleurs belges Q1
Appelons respectivement u, v et w les vecteurs unitaires orientés de B vers C, de C vers A et de A vers C. Autour du triangle ABC, au + bv + cw = 0 (le vecteur nul).
Par construction, les vecteurs PU, RQ et TS sont respectivement égaux à – (b-c)w – (b-a)u, (a- c)u + (b-c)v, (b-a)v – (a-c)w.
bRQ – cPU = b(a-c)u + b(b-c)v + c(b-c)w + c(b-a)u = (b-c)[au + bv + cw] = 0. Donc RQ = c/b PU.
bTS – aPU = b(b-a)v – b(a-c)w + a(b-c)w + a(b-a)u = (b-a)[au + bv + cw] = 0. Donc TS = a/b PU.
Les vecteurs PU, RQ et TS sont colinéaires donc les droites (PU), (RQ) et (TS) sont parallèles.
Le vecteur PU est égal au vecteur – (b-c)w – (b-a)u = – b(u + v + w) (voir précédemment).
I étant le barycentre des sommets pondérés chacun de la longueur du côté opposé, le vecteur u + v + w est perpendiculaire au vecteur OI donc les trois droites sont
perpendiculaires à la droite (OI).
Q2
La relation d’Euler donne OI2 = R2 -2rR où R et r sont respectivement les rayons des cercles circonscrits et inscrits. R = c/(2sin(C)) et r = (a+b-c)tan(C/2)/2.
OI2 = c2/(4sin2(C)) – c(a+b-c)/(4cos2(C/2)) = c/(4sin2(C)) [c - 4(a+b-c)sin2(C/2)].
La loi des cosinus dans le triangle QRC donne QR2 = (a-c)2 + (b-c)2 – 2(a-c)(b-c)cosC, soit QR2 = (a2 + b2 – 2abcos(C)) – 2c(a+b-c)(1 – cos(C)) = c[c - 4(a+b-c)sin2(C/2)].
OI = OQ donc OI2 = QR2 donne enfin [c - 4(a+b-c)sin2(C/2)] = 0 ou 1/(4sin2(C) = 1.
La première expression s’annule lorsque R = 2r ou O = I, c’est-à-dire lorsque le triangle ABC est équilatéral, ce qui est exclu. La seconde expression détermine l’angle en C, 30°.
Jean-Louis Legrand
