Trouver :
Q₁ : toutes les triplettes de nombres premiers x, y et z qui satisfont l’équation xy +yx =z.
Q₂ : toutes les triplettes d’entiers positifs ou nuls x,y et z tels que 3x +4y =5z .
Q1 : Si x et y sont impairs, xy +yx est pair, et z ne peut être premier : donc l’un des nombres, y par exemple, est égal à 2, et z=2x+x2 . Si x=6k±1, x2=1 (mod 3), et 2x=2 (mod 3) : donc x2+2x=0 (mod 3), est divisible par 3 et ne peut être
premier : la seule solution est donc 23+32=17.
Q2 : Pour x=0, 3x=1, 4y=5z-1=(5-1)(1+...+5z-1) : la dernière parenthèse est soit impaire, soit divisible par 6=1+5; comme elle doit être une puissance de 4, la seule solution est z=1, et alors y=1.
Si x>0, pour tout y, 4y=1 (mod 3), et pour z impair, 5z=2 (mod 3) : ce qui implique que z est pair z=2u ; de même, modulo 4, on déduit que x est pair, x=2v. Donc 52u -22y =(5u+2y)(5u-2y)=3x. Les deux facteurs sont premiers entre eux, puisque leur demi-somme et leur demi-différence le sont.
Il en résulte que 5u-2y=1 , 5u+2y=32v. 2y+1=32v-1=8(1+9+...+9v-1) : la parenthèse du dernier terme est soit impaire, soit divisible par 10 : ce ne peut être une
puissance de 2 que si elle est égale à 1, donc v=1, x=2, y=2 et z=2.
