A402 - Quelques classiques diophantiennes Solution
1) L’équation peut s’écrire . D’où : et
.
Une solution entière en y de cette équation du second degré est obtenue pour Pour a=17, on obtient x = 28, y=8 et z=6
2) Pour trouver une solution de l’équation , il est naturel de chercher des termes x, y et z de la forme x = , y = et z =
On obtient l’équation qui est satisfaite 3*a = 4*b = 24 et 5*c=25 D’où x = = 256, y = =64 et z = =32
3) La résolution de l’équation générale dépend de la parité de n :
1er cas : n est impair = 2p+1
Il existe des solutions (parmi bien d’autres) de la forme x = , y = et z = .
D’où :
On obtient les deux équations : (2p+1)a = (2p+2)b
(2p+1)a +1 = (2p+3)c avec les solutions suivantes:
x = , y = et c =
Exemples : n = 3 a = 8, b=6 et c=5, n = 5 a =18, b = 15 et c = 13 et n= 7 a = 32, b=28 et c=25
2ème cas : n est pair = 2p
Il existe des solutions (parmi bien d’autres) de la forme x = , y = et z = avec k, p, q, r, s, t, u entiers positifs
En opérant comme précédemment , on obtient les solutions suivantes :
x = , y = et z =
Exemple : n = 4 et k=2 p=10, q=6, r=8, s=5, t=7 et u=4 qui donne x = , y = et z =
