EQUATIONS DIOPHANTIENNES
I. CONJECTURESUne équation diophantienne est une équation à coefficients entiers et dont les inconnues sont des entiers.
Dans chaque cas, déterminer, si possible, un couple (x ; y) d entiers relatifs solution : a. 6x + 5y = 1.
b. 12x + 30y = 1.
c. 12x + 30y = 6 d. 12x + 30y = 48 e. 12x + 30y = 18 f. 12x + 30y = 13 g. 47x + 25y = 1
Quelles conjectures peut-on faire ? II. THEOREME DE BEZOUT
Soient a et b deux entiers non nuls et d PGC D(a b).
Partie 1.
Montrons qu il existe deux entiers u et v tels que au bv d.
On note E l ensemble des entiers naturels non nuls de la forme au bv avec u et v entiers.
1. Montrer que E n est pas vide. On en déduit que E admet un plus petit élément que l on note c.
2. Montrer que d divise c.
3. Soit r le reste de la division euclidienne de a par c.
a. Montrer que, si r n est pas nul, r appartient à E.
b. En déduire que r 0.
4. Montrer que c divis e d et en déduire que c d.
5. Conclure.
Partie 2.
1. Montrer que l’ensemble des entiers de la forme aU bV (avec U et V entiers) est l’ensemble des multiples de d.
2. Qu a-t-on démontré sur les équations diophantienne ? Partie 3.
Montrer le th de Bezout :
Théorème de Bézout : Soient a et b deux entiers non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au bv 1.
III. RESOLUTION D UNE EQUATION DIOPHANTIENNE.
Partie 1. Théorème de Gauss.
A l aide du théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss :
Théorème de Gauss : Soient a, b et c trois entiers non nuls. Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
Partie 2. Résolution d une équation diophantienne.
Soit l’équation (E) : 16x 30y 4 où x et y sont des entiers.
1. Simplifier l équation (E). On note (E ) l équation simplifiée.
2. Justifier que (E ) admet au moins une solution et déterminer une de ces solutions, que l on notera
(
m0 n0)
.3. Soit (x y) une solution de (E ).
a. Montrer que 8 divise y 2.
b. En déduire que les solutions de (E ) sont de la forme (4 15k 8k 2) avec k entier relatif.
4. Déterminer l ensemble des solutions de (E).
EQUATIONS DIOPHANTIENNES PROF
I. CONJECTURES.
Une équation diophantienne est une équation à coefficients entiers et dont les inconnues sont des entiers.
Dans chaque cas, déterminer, si possible, un couple (x ; y) d entiers relatifs solution : a. 6x + 5y = 1.
b. 12x + 30y = 1.
c. 12x + 30y = 6 d. 12x + 30y = 48 e. 12x + 30y = 18 f. 12x + 30y = 13 g. 47x + 25y = 1
Quelles conjectures peut-on faire ? a. (1 ; 1) est solution.
b. si (x ; y) sol alors 6 divise 12x + 30y = 1 : NON donc pas de solution
c. 12x + 30y = 6 2x + 5y = 1 : (3 ; 1) est solution Trouver d autres solutions.
Rq : S =
{
( 1 2 k 3 5 k),k}
d. 12x + 30y = 48 2x + 5y = 8 : (4 ; 0) est solution Trouver d autres solutions Rq : S =
{
(4 5 k 2 k)}
e. 12x + 30y = 18 2x + 5y = 3 : (4 ; 1) est solution Trouver d autres solutions Rq : S =
{
(4 5 k 2 k 1 )}
f. si (x ; y) sol alors 6 divise 12x + 30y = 13 : NON donc pas de solution g. (8 ; 15) sol
Conjectures :
Si pgcd(a ; b) divise c, alors ax + by = c a une infinité de solutions.
Sinon , pas de solutions
a et b premiers entre eux ssi au b v 1 avec u et v entiers.
II. THEOREME DE BEZOUT
Soient a et b deux entiers non nuls et d PGC D(a b).
Partie 1.
Montrons qu il existe deux entiers u et v tels que au bv d.
On note E l ensemble des entiers naturels non nuls de la forme au bv avec u et v entiers.
1. Montrer que E n est pas vide. On en déduit que E admet un plus petit élément que l on note c.
E n est pas vide car a b et b a sont de la forme au + bv et l un des deux est positif et appartient donc à E. E admet donc un plus petit élément. Notons le c
2. Montrer que d divise c.
c appartient à E donc c = au0 bv0 avec a0 et b0 entiers. d divise a et b donc d divise c.
3. Soit r le reste de la division euclidienne de a par c.
a. Montrer que, si r n est pas nul, r appartient à E.
Soit a = cq + r avec q et r entiers et 0 r c la division euclidienne de a par c.
On a r = a cq = a (au0 bv0) = a
(
1 u0)
b(
v0)
et r entier naturel.Si r n est pas nul, r est donc un élément de E.
b. En déduire que r 0.
Si r n est pas nul, r est donc un élément de E inférieur à c, ce qui est impossible car c est le plus petit élément de E. On a donc r = 0, ce qui signifie que c divise a.
4. Montrer que c d et en déduire que c d.
De même c divise b. c divise a et b donc c divise d.
D après 2), d divise c et d après 4), c divise d. Alors c d.
5. Conclure.
d est donc un élément de E : il existe deux entiers u et v tels que d au bv.
Partie 2.
1. Montrer que l’ensemble des entiers de la forme aU bV (avec U et V entiers) est l’ensemble des multiples de d.
1) soit c un multiple de d : c = kd avec k entier.
D après la partie 1, on a c = k(au + bv) = (ka)u + (kb)v donc c est de la forme aU + bV avec U et V entiers.
2) Si c = aU + bV avec U et V entiers, alors d divise c car d divise a et b. c est donc un multiple de d.
L’ensemble des entiers de la forme aU + bV (avec U et V entiers) est l’ensemble des multiples de d.
2. Qu a-t-on démontré sur les équations diophantiennes ?
L équation ax by k avec x, y entiers a donc au moins une solution si et seulement si k est un multiple de d.
Partie 3.
Montrer le th de Bezout :
Théorème de Bézout : Soient a et b deux entiers non nuls.
a et b sont premiers entre eux si et seulement si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au bv 1.
1) Si a et b sont premiers entre eux :
PGCD(a ; b) = 1 donc, d après la partie 1, il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
2) Si il existe deux entiers relatifs u et v tels que au + bv = 1.
Soit d = PGCD(a ; b). d divise a et b donc d divise au + bv = 1. Alors d = 1, ce qui signifie que a et b sont premiers entre eux.
IV. Résolution d une équation diophantienne.
Partie 1. Théorème de Gauss.
A l aide du théorème de Bézout, démontrer le théorème de Gauss :
Théorème de Gauss : Soient a, b et c trois entiers non nuls. Si a divise bc et si a est premier avec b, alors a divise c.
a et b sont premiers entre eux donc il existe des entiers u et b tels que au + bv = 1 Alors auc + bvc = c
Et a divise bc donc bc = ka avec k entier Alors auc + kav = c
Alors c = a(uc + kv) avec uc + kv entier Donc a divise c.
Partie 2. Résolution d une équation diophantienne.
Soit l’équation (E) : 16x 30y 4 où x et y sont des entiers.
1. Simplifier l équation (E). On note (E ) l équation simplifiée.
(E) (E ) : 8x 15y 2. (E) et (E ) ont les mêmes solutions.
2. Justifier que (E ) admet au moins une solution et déterminer une de ces solutions.
8 et 15 sont premiers entre eux donc, d après Bezout, il existe des entiers u et v tels que 8u+15v=1. On a alors 8 (2u)+15 (2v)=2 et (2u ; 2v) sol de (E ).
8 4 15 2 2 donc (4 2) solution.
3. Soit (x y) une solution de (E ).
a. Montrer que 8 divise y 2.
On a 8 4 15 ( 2) 2 et 8x 15y 2 donc par soustraction, 8(x 4 ) 15(y 2 ) 0 donc 15(y 2) 8(4 x) avec 4 x entier.
Alors 8 divis e 15(y 2) et 8 premier avec 15 donc d’après Gauss, 8 divise y+2.
b. En déduire que les solutions de (E ) sont de la forme (4 15k 8k 2) avec k entier relatif.
y 8k−2 ; k entier. Et 8x 2 15y 2 15(8k 2) donc x 4 15k. Les solu tions sont donc de la form e (4 15k 8k 2) avec k entier Donc S contenu dans {(4 15k 8k 2) ; k entier}
4. Déterminer l ensemble des solutions de (E).
On vérifie que les nb trouvés sont solutions puis S {(4 15k 8k 2) ; k entier}
