Problème du mois n° A539

Problème du mois n° A539

Trouver toutes les triplettes de nombres premiers x, y et z qui satisfont l’équationx^y+y^x=z.

1. Soientxety deux nombres premiers.

x^y+y^x est un entier pair si et seulement sixety sont de même parité.

Le seul nombre premier pair est 2. Il s’ensuit que si xet y sont de même parité, on doit avoirx^y+y^x= 2. La seule solution de cette équation est x=y= 1. Elle doit être rejetée car1 n’est pas un nombre premier.

Par conséquent,xety sont de parités différentes, et, l’un d’entre eux est égal à2puisqu’il est premier. Sans perte de généralité, on peut poserx= 2 et y >2.

L’équation x^y+y^x = z où x, y et z sont des nombres premiers se ramène à2^y+y²=z avecy >2

2. Montrons maintenant que2^y≡2 (mod 3).

y est un nombre premier impair d’après ce qui précède. Nous pouvons poser :y= 2k+ 1oùkest un entier naturel non nul.

Donc,2^y= 2.(3 + 1)^k.

2^y≡2 (mod 3)

3. Supposons quey≡0 (mod 3)

y étant un nombre premier, on ay= 3.

L’équation initiale devient :2³+ 3²= 17.

L’équationx^y+y^x=z admet pour solution :x= 2,y= 3 etz= 17 4. Supposons quey≡1 (mod 3)ouy≡ −1 (mod 3).

y²≡1 (mod 3)et2^y+y²≡0 (mod 3).

Par conséquent, z = 3. L’équation initiale devient 2^y +y² = 3 dont la seule solution est y= 1qui doit être rejetée car1n’est pas premier.

L’équation x^y+y^x =z n’admet que deux solutions (déduites l’une de l’autre par symétrie) quand x,y etz sont premiers :

– x= 2,y= 3 etz= 17 – x= 3,y= 2 etz= 17

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Généralisation : Le site http://xyyxf.at.tut.by/default.html est consacré à la recherche de nombres premiers de la forme x^y+y^x. En aban- donnant la contrainte xet y premiers, on peut se confronter à des problèmes algorithmiques très complexes.

Trouver toutes les triplettes d’entiers positifs ou nuls x, y et z tels que 3^x+ 4^y= 5^z.

1. Les propositions suivantes se démontrent sans difficulté :

∀(x, y)∈N²

(3^x+ 4^y≡1 (mod 3))

(∀z∈N) (5^z≡1 (mod 3))⇔(z≡0 (mod 2))

Les solutions de l’équation3^x+4^y = 5^zsont telles quezest un nombre pair

2. Les propositions suivantes se démontrent sans difficulté :

∀(y, z)∈N²

(5^z−4^y ≡1 (mod 4))

(∀x∈N) (3^x≡1 (mod 4))⇔(x≡0 (mod 2))

Les solutions de l’équation 3^x+ 4^y = 5^z sont telles que x est un nombre pair

3. Par conséquent, il existe deux nombresx⁰etz⁰tels quex= 2.x⁰etz= 2.z⁰. L’équation initiale se met sous la forme :3^x02+ 2^y2= 5^z02

Les nombres 3^x0,2^y et5^z0 forment un triplet pythagoricien 4. Il existe donc trois entiers naturelsk,uetv(u > v)tels que :







5^z0 = k(u²+v²) 2^y = 2kuv 3^x0 = k(u²−v²)

ou







5^z0 = k(u²+v²) 2^y = k(u²−v²) 3^x0 = 2kuv

Le deuxième système n’admet pas de solution car 2ne peut diviser3^x0. k est égal à1 car2,3 et5sont premiers entre eux.

L’équation 2^y = 2kuv implique que uet v sont des puissances de 2, or l’équation 5^z0 =k(u²+v²)implique quev= 2⁰.

L’équation3^x0 =k(u²−v²)peut être écrite sous la forme3^x0 = (u²−1)).

Or (u+ 1)(u−1) n’est une puissance de3 que siu= 2. Par conséquent, x⁰= 1,y= 2etz⁰= 1.

L’équation 3^x+ 4^y = 5^z n’admet qu’une solution : x= 2, y = 2et z= 2.

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