Enoncé A552 (Diophante) Des diviseurs à gogo Q

Enoncé A552 (Diophante) Des diviseurs à gogo

Q₁ Démontrer que l’entier 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ est divisible par 7, 13, 31, 43, 49, 181 et 379 mais ne l’est pas par 5 ou 11 ou 17 ou 19.

Q₂ Démontrer que chacun des entiers : N1= 2¹²⁵+ 1048576,

N₂= 3¹²⁵+ 3486784401, N₃= 5¹²⁵+ 95367431640625

a un nombre de diviseurs distincts qui est un multiple de 2016.

Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1

Modulo 7 et 13, 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ = 27³⁵+ 64³⁵est multiple (l’exposant 35 étant impair) de 27 + 64 = 91 = 7·13.

Modulo 31, 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ = (3¹⁵)⁷+ (4¹⁵)⁷ est multiple (l’exposant 7 étant impair) de (3¹⁵+ 4¹⁵). Or 4 est résidu quadratique modulo 31, au contraire de 3 ; de ce fait, 31 divise 3¹⁵+ 1 et 4¹⁵−1, donc 3¹⁵+ 4¹⁵.

Modulo 43, 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ = (3²¹)⁵+ (4²¹)⁵ est multiple (l’exposant 5 étant impair) de (3²¹+ 4²¹). Or 4 est résidu quadratique modulo 43, au contraire de 3 ; de ce fait, 43 divise 3²¹+ 1 et 4²¹−1, donc 3²¹+ 4²¹.

Modulo 181, 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵= (3⁵)²¹+ (4⁵)²¹est multiple de 3⁵+ 4⁵ = 7×181.

Modulo 49 et 379, 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ = (3⁷)¹⁵+ (4⁷)¹⁵ est multiple de 3⁷+ 4⁷ = 49×379.

Modulo 5, par le petit théorème de Fermat 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ a même reste que 3 + 4 = 7, donc 26= 0.

Modulo 11, par le petit théorème de Fermat 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ a même reste que 3⁵+ 4⁵ = 1267, donc 26= 0.

Modulo 17, par le petit théorème de Fermat 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ a même reste que 3⁹+ 4⁹ = 27³+ 64³, soit (−7)³+ (−4)³ =−407, donc 16= 0.

Modulo 19, par le petit théorème de Fermat 3¹⁰⁵+ 4¹⁰⁵ a même reste que 3¹⁵+ 4¹⁵ et (−4)³+ (−2)³=−72, donc 46= 0.

Question 2

Les nombres proposés sont les valeurs en x = 2, 3 ou 5 du polynôme P(x) =x¹²⁵+x²⁰, qui se factorise en

P(x) =x²⁰(x+ 1) x³+ 1 x+ 1

! x⁵+ 1 x+ 1

! x⁷+ 1 x+ 1

! (x¹⁵+ 1)(x+ 1) (x³+ 1)(x⁵+ 1)

!

× (x²¹+ 1)(x+ 1)

(x³+ 1)(x⁷+ 1)

! (x³⁵+ 1)(x+ 1) (x⁵+ 1)(x⁷+ 1)

! (x¹⁰⁵+ 1)(x³+ 1)(x⁵+ 1)(x⁷+ 1) (x+ 1)(x¹⁵+ 1)(x²¹+ 1)(x³⁵+ 1)

!

Les 7 fractions sont des polynômes cyclotomiques, à coefficients entiers, donc à valeurs entières quand la variable est un entier. Je les noteP_k par leur degré :P₁=x+ 1,P₂= (x³+ 1)/(x+ 1), P₄,P₆,P₈,P₁₂,P₂₄,P₄₈. Le facteur x²⁰ permet d’obtenir 21 diviseurs distincts, par le choix de l’exposant dex, à partir des produits des autres facteurs, dont les valeurs sont données par le tableau suivant.

x= 2 3 5

P₁ 3 2² 2×3

P2 3 7 3×7

P₄ 11 61 521

P₆ 43 547 29×449

P8 331 31×271 61×7821 P12 5419 7×43×2269 7×43×127×7603 P₂₄ 281×86171 374857981681 15216601×4698932281 P₄₈(2) = 211×664441×1564921,

P48(3) = 211×1051×24151×3369031×3454081, P₄₈(5) = 19×457×335014712426882127942033454907.

Le nombre de diviseurs deN₁ est ainsi 21·3·2⁹ = 16×2016, celui de N₂ 21·3²·2¹²= 384×2016. PourN3, je n’ai pas mené à terme la factorisation, le dernier facteur deP₄₈(5) n’ayant pas de diviseur<2³⁰; mais avec deux carrés (3 et 7) et au moins 12 facteurs d’exposant 1 (2, 19, 29, 43, 61, 127, 449, 457, 521, 7603, 7821, 15216601), le nombre de diviseurs de N3

est multiple strict de 384×2016.