A552 - Des diviseurs à gogo Q₁ Démontrer que l'entier 3105 + 4

A552 - Des diviseurs à gogo

Q₁ Démontrer que l'entier 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ est divisible par 7,13,31,43,49,181 et 379 mais ne l'est pas par 5 ou 11 ou 17 ou 19.

Q₂ Démontrer que chacun des entiers : N₁ = 2¹²⁵ + 1 048 576,

N₂ = 3¹²⁵ + 3 486 784 401, N₃ = 5¹²⁵ + 95 367 431 640 625

a un nombre de diviseurs distincts qui est un multiple de 2016.

Solution Q₁

On sait que aⁿ + bⁿ est divisible par (a + b) quel que soit p impair.

Donc 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ est divisible par 7.

Mais 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ peut s'écrire aussi (3^p)^q + (4^p)^q avec pq = 105, donc 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ est divisible par 3^p + 4^p quel que soit p diviseur de 105 (q est nécessairement impair).

Les 7 nombres 7,13,31,43,49,181 et 379 divisent une au moins des valeurs de 3^p + 4^p pour p égal à l'un des 6 premiers diviseurs de 105, ainsi que l'indique le tableau suivant.

p 3^p + 4^p 7 13 31 43 49 181 379

1 7 1

3 91 13 7

5 1 267 181 7

7 18 571 2 653 379 49

15 1 088 090 731 155 441 533 83 699 287 35 099 701 6 011 551

21 4 408 506 864 307 629 786 694 901 339 115 912 639 102 523 415 449 89 969 527 843 11 631 944 233

Reste à montrer que 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ n'est divisible ni par 5 ni par 11 ni par 17 ni par 19.

Pour la divisibilité par 5, c'est facile. On montre aisément que 3ⁿ + 4 ⁿ n'est jamais terminé par 0 et n'est terminé par 5 que pour n = 2 + 4k. Ni 105 ni aucun des diviseurs n'entre dans cette catégorie.

Pour la divisibilité par 11, on montre aisément que (3ⁿ mod. 11 + 4 ⁿ mod. 11) mod. 11 présente la période 7, 3, 3, 7, 2, donc ne prend jamais la valeur 0.

Pour la divisibilité par 17, on montre aisément que (3ⁿ mod. 17 + 4 ⁿ mod. 17) mod. 17 présente une période de longueur 16 et ne prend la valeur 0 que pour n = 8 + 16k. Ni 105 ni aucun de ses diviseurs n'entre dans cette catégorie.

Pour la divisibilité par 19, on montre aisément que (3ⁿ mod. 19 + 4 ⁿ mod. 19) mod. 19 présente une période de longueur 18 et ne prend la valeur 0 que pour n = 9 + 18k. Ni 105 ni aucun de ses diviseurs n'entre dans cette catégorie.

Q₂

Montrons que chacun de ces nombres a un nombre de diviseurs distincts multiple de 2016.

 N₁ = 2¹²⁵ + 1 048 576

On remarque que 1 048 576 n'est autre que 2²⁰.

Donc N₁ = 2²⁰ (2¹⁰⁵ + 1) et son nombre de diviseurs est un multiple de 21. Reste trouver des facteurs premiers p^a q^b… de N'₁ = (2¹⁰⁵ + 1) tels que (a+1) (b+1)… soit un multiple de 2016 / 21 = 96.

Par la méthode des résidus mod. 3, 5, 7, 11 etc. on voit que N'₁ est divisible par¹ : 3², 11, 43, 211, 281, 331 et d'autres mais cela suffit.

En effet, N'₁ = 3²1143211281331×P (P étant un entier qui ne comporte aucun des facteurs premiers ci-avant) et donc :

N₁ = 2²⁰N'₁ = 2²⁰3²1143211281×331P

et a donc 2132⁵k diviseurs (k étant le nombre de diviseurs de P) et 2132⁵ = 2016.

 N₂ = 3¹²⁵ + 3 486 784 401

On remarque que 3 486 784 401 n'est autre que 3²⁰.

Donc N₂ = 3²⁰ (3¹⁰⁵ + 1) et son nombre de diviseurs est un multiple de 21. Reste trouver des facteurs premiers p^a q^b… de N'₂= (3¹⁰⁵ + 1) tels que (a+1) (b+1)… soit un multiple de 2016 / 21 = 96.

Par la méthode des résidus mod. 3, 5, 7, 11 etc. on voit que N'₂ est divisible par : 2², 7², 31, 43, 61, 211, 271, et d'autres mais cela suffit.

En effet, N'₂ = 2²×7²314361211271Q (Q étant un entier qui ne comporte aucun des facteurs premiers ci-avant) et donc :

N₂ = 3²⁰ N'₂ = 3²⁰2²×7²314361211271Q

et a donc 213²2⁵m diviseurs (m étant le nombre de diviseurs de Q) et 213²2⁵ = 6048 = 32016.

 N₃ = 5¹²⁵ + 95 367 431 640 625

On remarque que 95 367 431 640 625 n'est autre que 5²⁰.

Donc N₃ = 5²⁰ (5¹⁰⁵ + 1) et son nombre de diviseurs est un multiple de 21. Reste trouver des facteurs premiers p^a q^b… de N'₃ = (5¹⁰⁵ + 1) tels que (a+1) (b+1)… soit un multiple de 2016 / 21 = 96.

Par la méthode des résidus mod. 3, 5, 7, 11 etc. on voit que N'₃ est divisible par ; 2, 3², 7², 29, 43, 61, 127, 421, et d'autres mais cela suffit.

1 pour chaque facteur premier est indiqué l'exposant maximum

En effet, N'₃ = 2×3²7²294361127421R (R étant un entier qui ne comporte aucun des facteurs premiers ci-avant) et donc :

N₃ = 5²⁰ N'₃ = 2×3²7²294361127421R

et a donc 213²2⁶r diviseurs (r étant le nombre de diviseurs de R) et 213²2⁶ = 12096 = 62016.

Un doute :

L'énoncé doit-il être compris comme demandant en outre de :

Q'2 montrer que les nombres de diviseurs de N₁ N₂ N₃ sont distincts entre eux?

Le doute tient au fait que l'énoncé dit chacun… a un nombre de diviseurs distincts qui est un multiple de 2016. L'emploi du singulier suggère que c'est le nombre de diviseurs distincts (pourquoi distincts, mais soit) de chacun qui est en cause.

Il s'agit donc peut-être non de diviseurs distincts mais de nombres distincts de diviseurs, d'un nombre Ni à l'autre.

Quoi qu'il en soit, si la question Q'2 est posée, voici une solution avec l'aide du site Wolfram- Alpha, qui nous donne :

2^105 + 1 =

3^105 + 1 =

5^105 + 1 =

Ainsi les nombres de diviseurs des Ni sont :

 pour N1 2132⁹ 32 256

 pour N2 213²2¹² 774 144

 pour N3 213²2¹⁴ 3 096 576

Naturellement, l'appel au site Wolfram-Alpha aurait permis de résoudre directement la question Q₂.