Q₁ Démontrer que l'entier 3105 + 4105 est divisible par 7, 13, 31, 43, 49, 181 et 379 mais ne l'est pas par 5 ou 11 ou 17 ou 19.
Q₂ Démontrer que chacun des entiers : N₁ = 2¹²⁵ + 1 048 576,
N₂ = 3¹²⁵ + 3 486 784 401, N₃ = 5¹²⁵ + 95 367 431 640 625
a un nombre de diviseurs distincts qui est un multiple de 2016
Q1 : pour n impair, a et b entiers, an+bn est divisible par a+b.
Comme 105=3*5*7, 3105+4105 est divisible par 33+43=27+64=91=7*13, par 35+45=243+1024=1267=7*181, par 37+47=2187+16384=18571=72*379, par 315+415=14348907+107341824=1088090731=7*13*31*181*2131 ou encore par 321+421=10470353203+4398046511104=4408506864307=72*13*43*379*631*673 5, 11, 17 et 19 étant premiers, d’après le théorème de Fermat,
34=44=1 (mod 5) et 105=1 (mod 4) donc 3105+4105=3+4=2 (mod 5)
310=410=1(mod 11) et 105=5 (mod10) donc 3105+4105=35+45=1267=2 (mod 11) 316=416=1 (mod 17) et 105=9 (mod 16) donc 3105+4105=39+49=14+4=1 (mod 17) 318=418=1 (mod 19) et 105=15 (mod 18) donc 3105+4105=315+415=12+11=4 (mod 19) Q2 : 1048576=220, 3486784401=320, 95367431640625=520
donc N1=220(2105+1)=220*32*∏10 , N2=320(3105+1)=22*320*72*∏12
N3=520(5105+1)=32*520*72*∏14, où les nombres ∏k sont des produits de k nombres premiers simples.
On en déduit les nombres de diviseurs d(N1)=21*3*210=210*32*7
d(N2)=21*3*3*212=212*33*7, d(N3)=21*3*3*214=214*33*7 qui sont distincts et tous divisibles par 25*32*7=2016.
