A50426. Carrés à gogo
Quels sont les carrés parfaits de 4 chiffres (ne commençant ni se terminant par un zéro), obtenus par concaténation de deux carrés ?
Solution
Si le carré formant la partie droite du résultat n’a qu’un chiffre, c’est 1, 4 ou 9 ; rapprochons ce cas de l’équation de Fermat x2 = 10y2+ 1, qui a pour solution fondamentale 192 = 10·62+ 1, ce qui ne donne que 3 chiffres au résultat 361 de la concaténation ; mais multiplier par les facteurs 4 et 9 donne 1444 et 3249 comme carrés de 4 chiffres.
Si c’est la partie gauche qui est un carré d’un chiffre, 1000 ou 4000 ou 9000 est différence de deux carrés de même parité ; si leurs racines ne sont pas multiples de 5, 125 doit diviser soit la somme soit la différence de ces racines, de même que 250 car somme et différence sont de même parité. Ce qui est impossible car elles sont<100 ; ainsi les racines sont toutes deux multiples de 5 ; les carrés se terminent par 25, d’où les solutions 1225 et 4225, le carré de 3 chiffres 625 ne convenant pas.
Enfin, avec deux carrés de deux chiffres, a2 = 100b2+c2, avec 4 ≤ c ≤ 9 pour quec2 ait deux chiffres ; sic= 5, les carrés (2b)2 et (a/5)2 seraient des entiers consécutifs, ce qui est impossible, doncc6= 5. En outre 31< a <100.
100 divisant (a+c)(a−c) sans que 5 divise les deux facteurs (de même parité), 50 divisea+cqui est 50 ou 100. Corrélativement a−c= 2b2 oub2. Alorsc= 25−b2 ou c= 50−b2/2, et 16≤b2≤21 ou 82≤b2 ≤92, il faut b= 4, c= 9, d’où la solution 1681 = 412.
