A552. Des diviseurs à gogo Q

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A552. Des diviseurs à gogo

Q₁ Démontrer que l'entier 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ est divisible par 7, 13 ,31 ,43 ,49 ,181 et 379 mais ne l'est pas par 5 ou 11 ou 17 ou 19.

Q₂ Démontrer que chacun des entiers : N₁ = 2¹²⁵ + 1 048 576,

N₂ = 3¹²⁵ + 3 486 784 401, N₃ = 5¹²⁵ + 95 367 431 640 625

a un nombre de diviseurs distincts qui est un multiple de 2016.

Solution proposée

Question1 : Divisibilité de l’entier 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ par 7, 13 ,31 ,43 ,49 ,181 et 379 Rappelons que :

Si le modulo p d’un nombre vaut 0, le nombre est divisible par p.

Le modulo d’une somme est égal au modulo de la somme des modulos Le modulo d’un produit est égal au modulo du produit des modulos

Cela permet d’éviter de calculer réellement xⁿ, pour permettre le calcul de Modulo(xⁿ,p)

En effet utiliser la récurrence : Modulo(xⁿ,p) = Modulo[x*Modulo(x^n-1,p),p] simplifie considérablement les calculs en évitant de manipuler de trop grands nombres.

Appliqué de manière récurrente sur 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵, on peut construire le tableau de la page suivante :

Cela permet de voir que l’on revient régulièrement sur une configuration des Modulo p des puissances de 3 et de 4 valant tous deux 1, ce qui signifie que la séquence des modulos va se répéter indéfiniment.

Les solutions de divisibilité de 3ⁿ+ 4ⁿ sont les suivantes

Divisibilités par 7 : n=1+6k 3+6k 5+6k, soit en simplifiant n=1+2k1

Divisibilités par 13 : n=3+6k2

Divisibilités par 49 : n=7+42k 21+42k 35+42k, soit en simplifiant n=7+14k4

Divisibilités par 181 : n=5+90k 15+90k 25+90k 35+90k 45+90k 55+90k 65+90k 75+90k 85+90k, soit en simplifiant n=5+10k5

Divisibilités par 379 : n=7+378k 21+378k 35+378k,etc… soit en simplifiant n=7+14k6

Le premier nombre commun aux 6 solutions est 105 ( k1=52, k2=17, k3=3, k4=7, k5=10, k6=7) Donc le nombre 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ est divisible par 7, 13 ,31 ,43 ,49 ,181 et 379

Avec le même raisonnement les solutions de divisibilité par les autres valeurs sont les suivantes : Divisibilités par 5 : n=2+4k7

Divisibilités par 11 : Aucune solution, les modulos sont uniquement1,4,5,9,3 et jamais 0 Divisibilités par 17 : n=8+16k8

Or ces expressions n’ont pas de solutions entières avec n=105.

Donc le nombre 3¹⁰⁵ + 4¹⁰⁵ n’est pas divisible par 5,11,17 et 19

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Question 2 : N1, N2 et N3 ont un nombre de diviseurs distincts multiple de 2016.

On remarque que :

N2 = 2¹²⁵ + 1 048 576 = , 2¹²⁵ + 2²⁰ = 2²⁰ (2¹⁰⁵+1) N3 = 3¹²⁵ + 3 486 784 401 = 3¹²⁵ + 3²⁰ = 3²⁰ (3¹⁰⁵+1) N5 = 5¹²⁵ + 95 367 431 640 625 = 5¹²⁵ + 5²⁰ = 5²⁰ (5¹⁰⁵+1)

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Si un nombre N est divisible par des

x

i

^n

i , les xi étant des nombres premiers, cela génère un nombre de diviseurs de N égal à

π

⁽¹⁺ⁿⁱ⁾

^[1].

Démontrable par récurrence (1 est compté comme diviseur)

On a un premier diviseur de type x²⁰, puis un terme x¹⁰⁵+1 ( = x¹⁰⁵+1¹⁰⁵ pour le mettre sous la forme étudiée dans la question 1) dont on cherche également des diviseurs. Avec la méthode déjà utilisée dans la question 1, on constate que :

N2 est divisible par 2²⁰, 3², 11, 43, 211, 281, 331

N3 est divisible par 3²⁰, 2², 31, 43, 61, 211, 271 (7 non pris car divisibilité par 7²) N5 est divisible par 5²⁰, 3², 2, 29, 43, 61, 87 (7 non pris car divisibilité par 7²)

On vérifie pour x¹⁰⁵+1 que les diviseurs retenus le sont à la seule puissance indiquée (2 pour le premier, 1 pour les suivants)

Ainsi pour N2, N3 et N5 le nombre de diviseurs est égal d’après la formule

[1]

à :

21

x

3

x

2

x

2

x

2

x

2

x

2 = 2016

Il peut exister d’autres diviseurs de la forme

x

j

^n

j avec

x

j différent des

x

i retenus ci-dessus, mais ceux-ci ne feront que multiplier le nombre de diviseurs de N par 1+nj, ce qui permet d’affirmer que le nombre de diviseurs distincts de N2, N3 et N5 est un multiple de 2016.

Michel Goudard