Séquence 9 : Puissances 4

Séquence 9 : Puissances 4^ème Budapest

Attendus de fin de cycle :

 Utiliser des nombres pour comparer, calculer et résoudre des problèmes.

Objectifs de la séquence :

 Connaitre et utiliser la notion puissance.

 Savoir calculer avec des puissances de 10.

 Savoir utiliser la notation scientifique.

Plan de la séquence :

I- Puissances entières d’un nombre relatif.

I-1- Puissances positives I-2- Puissances négatives

II- Puissances de 10.

II-1- Calcul d’une puissance de 10.

II-2- Calculs avec les puissances de 10.

III- Notation scientifique d’un nombre.

Séquence 9 : Puissances 4^ème Budapest

Réactiver les prérequis : Faire les questions flash 1, 2 P36 indigo

Faire l’activité découverte « les bactéries » ou l’activité 1 P 76 Myriade ou activité 1 P36 indigo.

Application directe : Faire les questions flash : 1, 2, 3 P40 indigo

I- Puissances entières d’un nombre relatif.

I-1- Puissances positives.

Définition :

a désigne un nombre relatif et n un entier positif non nul.

Le produit de n facteurs égaux à a se note aⁿ et se lit « a exposant n » : 𝑎^𝑛=𝑎⏟ ×𝑎× … . .×𝑎

𝑛 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑒𝑢𝑟𝑠

On dit que ce produit est une puissance de a.

Conventions :* Pour tout nombre a : 𝑎¹=𝑎 * Pour tout nombre non nul a : 𝑎⁰= 1.

Exemple :

2⁵ = 2×2×2×2×2 = 32 et donc l’écriture décimale de 2⁵ est 32.

(-3)⁴ = (-3) × (-3) × (-3) × (-3) = 81 et donc l’écriture décimale de (-3)⁴ est 81.

Remarque :

 a² se lit « a au carré »

 a³ se lit « a au cube »

(-2)⁴ = 16 mais -2⁴ = -16 ! Règle :

Dans une expression sans parenthèses comportant des puissances, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et les divisions et enfin les additions et les soustractions.

Tâche intermédiaire : faire les exercices de 5 à 10 P 40 indigo Réinvestissement : Faire l’exercice 16 P 81 Myriade

Faire l’activité 2 P36 indigo.

Application directe : Faire les questions flash : 15, 16 P41 indigo

I-2- Puissances négatives.

a désigne un nombre relatif non nul et n un entier strictement positif.

Le nombre a^-n désigne l’inverse du nombre aⁿ : 𝑎^−𝑛 = ¹

𝑎^𝑛

Exemple :

2⁻³=₂¹₃=_2×2×2¹ = ¹₈ et donc l’écriture fractionnaire de 2^-3 est ¹

8

(−3)⁻²= ¹

(−3)²= ¹

(−3)×(−3)=¹

9 et donc l’écriture fractionnaire de (-3)^-2 est ¹

9

7⁻¹=¹

7 et donc l’écriture fractionnaire de 7^-1 est ¹

7.

Tâche intermédiaire : faire les exercices 17, 18, 19 P 41 indigo

Faire l’activité 2 P 76 Myriade :

Application directe: Faire les activités rapides de 18 à 22 P 82 Myriade.

II- Puissances de 10 :

II-1- Calcul d’une puissance de 10.

Propriété :

n désigne un nombre entier strictement positif 10^𝑛 = 10 × 10 × … × 10 = 100 … 0

n facteurs n zéros

Exemple :

Nombre Ecriture décimale Ecriture à l’aide d’une puissance

de 10

1 milliard 1 000 000 000

9 zéros

10⁹

Mille 1 000

3 zéros

10³

238 millions 238 000 000

6 zéros

238 × 10⁶

Propriété :

n désigne un nombre entier strictement positif 10^−𝑛 = 1

10^𝑛= 0,0 … 01 n zéros

Nombre Ecriture décimale Ecriture à l’aide d’une puissance

de 10

1 millionième 0,000 001

6 zéros

10⁻⁶

1 millième 0,001

3 zéros

10⁻³

257 dix millièmes 0,025 7 257 × 10⁻⁴

Tâches intermédiaires : Faire les exercices 11, 13, 14 P 40 indigo Réinvestissement : Faire les exercices 20, 22, 23 P41 indigo Faire l’activité 3 P 77 Myriade :

Application directe: Faire les activités rapides de 23 à 28 P 82 Myriade.

II-2- Calculer avec les puissances de 10 :

1) Propriété :

m et p désignent des entiers relatifs : 10^𝑚× 10^𝑝 = 10^{𝑚+𝑝 10𝑚}

10^𝑝 = 10^𝑚−𝑝 (10^𝑚)^𝑝= 10^𝑚×𝑝

Exemple :

10⁷× 10⁴ = 10⁷⁺⁴= 10¹¹ 10⁵× 10⁻⁸= 10⁵⁺⁽⁻⁸⁾= 10⁻³

10⁶

10²= 10⁶⁻² = 10^{4 105}

10⁻⁴= 10⁵⁻⁽⁻⁴⁾= 10⁹ (10⁴)³= 10^4×3 = 10¹² (10⁻³)²= 10^−3×2= 10⁻⁶

2) Préfixes scientifiques :

Préfixe giga méga kilo milli micro nano

Symbole G M k m µ n

signification 10⁹ 10⁶ 10³ 10⁻³ 10⁻⁶ 10⁻⁹

Exemple :

 3 kg = 3 × 10³ g

 (5 microgrammes) 5 µg = 5 × 10⁻⁶ g, soit cinq millionième de gramme.

Tâches intermédiaires : Faire les exercices 29 P83 Myriade

Faire l’activité 4 P 37 indigo :

Application directe : Faire les questions flash 24, 25 P 41 indigo.

III- Ecriture scientifique d’un nombre :

L’écriture scientifique d’un nombre décimal positif est l’écriture de la forme a × 10^𝑛 où :

 a est un nombre décimal tel que 1 ≤ a < 10 ;

 n est un nombre entier relatif.

Le nombre a comporte un seul chiffre non nul avant la virgule.

Exemple :

L’écriture scientifique de 1 785 000 000 (1 milliard 785 millions) est 1,785 × 10⁹.

L’écriture scientifique de 0,000 028 est 2,8 × 10⁻⁵

Tâches intermédiaires : Faire les exercices 26, 27, 28 P 41 indigo Réinvestissement : Faire les exercices 31, 33, 34 P 42 indigo

TAPI : faire l’exercice 41 P 43 indigo.