Enoncé A486 (Diophante) Arithmétique polygonale
Q1 – Les dimensions des côtés d’un quadrilatère sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des trois autres.
Démontrer que deux côtés au moins de ce quadrilatère sont égaux.
Q2 – Les dimensions des côtés d’un pentagone sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des quatre autres.
Démontrer que deux côtés au moins sont égaux ou bien que les dimensions distinctes des côtés sont proportionnelles à celles d’un quintuplet primitif unique.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin Question 1
Chaque dimension de côté divise aussi le périmètreP du polygone, somme de ce côté et des 3 autres. Considérons les quotients de ces divisions, soit a≤b≤c≤d.
Le plus grand côté mesure P/a, inférieur au demi-périmètre (sinon la chaîne de côtés ne se refermerait pas, ou en cas d’égalité le polygone serait aplati). Ainsi a >2.
L’addition des côtés donneP =P/a+P/b+P/c+P/d≤4P/a, l’inégalité étant stricte si les côtés ne sont pas tous égaux. En ce casa <4, puisa= 3, et s’il n’y a pas deux côtés égaux, b≥4, c≥5, d≥6 d’où
P ≤P/3 +P/4 +P/5 +P/6 = 19P/20, contradiction.
Question 2
Considérons de même les quotients a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e des divisions du périmètreP par les 5 côtés.
La condition de fermeture du polygone sans aplatissement donne à nou- veaua >2. Le périmètreP/a+P/b+P/c+P/d+P/e≤5P/a, majorant strict si tous les côtés ne sont pas égaux, d’oùa <5.
Sia= 4 et s’il n’y a pas deux côtés égaux, le périmètre est majoré par P/4 +P/5 +P/6 +P/7 +P/8 = 743P/840, contradiction.
Donc a= 3 ; si b≥ 5, P ≤ P/3 +P/5 +P/6 +P/7 +P/8 = 813P/840, contradiction.
Donc b = 4 ; si c ≥ 7, P ≤P/3 +P/4 +P/7 +P/8 +P/9 = 485P/504, contradiction.
Si c = 6, P/d+P/e = P −P/3−P/4−P/6 = P/4, de = 4d+ 4e, e = 4d/(d−4) = 4 + 16/(d−4), d−4 divise 16 et comme d > c = 6, d= 8 =e, il y a deux côtés égaux.
Il faut doncc= 5 ; P/d+P/e=P−P/3−P/4−P/5 = 13P/60, 13de= 60(d+e), (13d−60)(13e−60) = 3600 = 602.
13d−60 est le plus petit des deux facteurs, d’où 13d−60≤60, 5 =c < d≤9, etd∈ {6,7,8,9}.
La seule valeur dedtelle que 13d−60 divise 3600 estd= 6 et conduit à e= 20.
Ainsi, s’il n’y a pas deux côtés égaux, (a, b, c, d, e) = (3,4,5,6,20) et les côtés sont proportionnels à 20, 15, 12, 10 et 3.
