Q₁ - Les dimensions des côtés d’un quadrilatère (non aplati) sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des trois autres. Démontrer que deux côtés au moins de ce quadrilatère sont égaux.
Q₂ - Les dimensions des côtés d’un pentagone (non aplati) sont des nombres entiers tels que l’une
quelconque d’entre elles divise la somme des quatre autres. Démontrer que deux côtés au moins sont égaux ou bien que les dimensions distinctes des côtés sont proportionnelles à celles d’un quintuplet primitif unique
Q1 : Soient a, b, c, d les longueurs des cotés avec a≤b≤c≤d : il existe p, q, r, s entiers avec 1<s≤r≤q≤p tels que pa=b+c+d, qb=a+c+d, rc=a+b+d, sd=a+b+c donc :
a+b+c+d=a(p+1)=b(q+1)=c(r+1)=d(s+1) ; donc 2≤s≤3. Si s=3, a=b=c=d.
Si s=2, 2d=a+b+c ; 2rc=2(a+b+d)=3(a+b)+c<7c : donc 2≤r≤3.
- Si r=2, r=s et c=d
- Si r=3, 5c=3(a+b) ; 2qb=2(a+c+d)=3a+b+3c ; 10qb=24a+14b<38b : q<19/5 donc q≤3, ce qui entraine q=3 et b=c.
Q2 : De façon similaire si a≤b<c<d≤e sont les cotés du pentagone, il existe p, q, r, s, t entiers avec t≤s≤r≤q≤p tels que (p+1)a=(q+1)b=(r+1)c=(s+1)d=(t+1)e=a+b+c+d+e Comme ci- dessus, 2≤t≤4, le cas t=4 correspondant à a=b=c=d=e.
• Si t=3, 3e=a+b+c+d, donc 3sd=3(a+b+c+e)=4(a+b+c)+d≤13d, soit s<13/3 : s≤4.
- Si s=3 t=s donc d=e.
- Si s=4, 11d=4(a+b+c) ; 33e=11(a+b+c+d)=15(a+b+c) donc 11(d+e)=9(a+b+c) et 11rc=11(a+b+d+e)=20(a+b)+9c≤49c : donc r=4 : r=s, et c=d.
• Si t=2, 2e=a+b+c+d, donc 2sd=2(a+b+c+e)=3(a+b+c)+d≤10d soit s≤5 ; le cas s=5 correspond à a=b=c=d. Sinon (2s-1)d=3(a+b+c) et (2s-1)e=(s+1)(a+b+c)
* Si s=4, 7d=3(a+b+c) et 7e=5(a+b+c). Or rc=a+b+d+e donc 7rc=7(a+b)+8(a+b+c)
=15(a+b)+8c≤38c, donc r≤5.
- Si r=4, r=s et c=d.
- Si r=5, 9c=5(a+b), et 7qb=7(a+c+d+e)=7(a+c)+10(a+b+c)= ; donc
14qb=21(a+c)+9(a+b+c)+7b=30(a+c)+16b : 21qb=45(a+c)+24b=45a+25(a+b)+24b 21qb=70a+49b ; soit 3qb=10a+7b : q≤17/3 donc q=5 et q=r donc b=c.
* Si s=3, 5(d+e)=7(a+b+c), donc 5rc=5(a+b+d+e)=12(a+b)+7c≤31c donc r≤6
- Si r=6 : 23c=12(a+b) ; 5*23(d+e)=7(23+12)(a+b) : 23(d+e)=49(a+b) : 23(c+d+e)=61(a+b) 23qb=23a+61(a+b)=84a+61b≤145b : q=6 : b=c
- Si r=5 : 18c=12(a+b) soit 3c=2(a+b), 3*5(d+e)=7(3+2)(a+b) donc 3(d+e)=7(a+b) et c+d+e=3(a+b). Donc qb=4a+3b et q≤7. Si q=7, a=b. Si q=6, 3b=4a, c+d+e=7a et 3(b+c+d+e)=25a : a ne divise pas b+c+d+e.
- Enfin si r=4, 13c=12(a+b) ; 13*5(d+e)=7(13+12)(a+b) soit 13(d+e)=35(a+b) et 13(c+d+e)=47(a+b) : 13qb=13(a+c+d+e)=60a+47b donc q≤8.
(13q-47)b=60a, 13(13q-47)(c+d+e)=47*(13q-47+60)a soit (13q-47)(c+d+e)=47(q+1)a et (13q-47)(b+c+d+e)=(47q+107)a soit p=(b+c+d+e)/a=(47q+107)/(13q-47)
Ce rapport n’est entier que pour q=5 : alors p=19, a=3, b=10, c=12, d=15 e=20.
