A486. Arithm´ etique polygonale
Quel que soit le nombre n des cot´es d’un polygone non aplati, le plus grand cot´e doit ˆetre inf´erieur `a la somme de tous les autres.
Si chaque cot´e (en nombre entier) divise la somme des autres, il divise aussi la somme s de tous les cot´es. Les dimensions a, b, c, ... rang´ees dans l’ordre d´ecroissant, peuvent s’´ecrire :
S a0, S
b0, S
c0, ... avec S = P P CM(a, b, c...) et a0 ≤ b0, b0 ≤ c0, etc. Par construction, les nnombres des solutions n’ont pas de diviseur commun.
La condition ”non aplati” imposea0>2, soita0= 3,4,5,...
Si on appelle ”partage unitaire ennparts” un ensemble denfractions 1 ji
dont la somme vaut 1, il s’agit de trouver des P U pn (”p” pour ”particuliers” ou
”polygonaux” au choix) tels queji >2,∀i.
Comme
3≤a0 ≤n a0≤ b0 ≤ n−1
1−1/a0 b0≤c0 ≤ n−2
1−1/a0−1/b0
... , le nombre de cas `a tester est fini, de mˆeme que celui des solutions. Le reste est du domaine de l’informatique.
Il faut remarquer qu’on ne cherche pas une preuve que les solutions ont ten- dance `a avoir plusieurs nombres identiques (on fait un recensement); mais on peut donner une explication `a cette pr´evalence : toutP U pn−1fournit plusieurs P U pn en rempla¸cant une des parts 1
ji
par 2 parts 1 2×ji
(plus de nombreux autres modes).
Quadrilat`ere :
Il y a 4 solutions, qui on toutes plusieurs nombres identiques : a= 1, b= 1, c= 1, d= 1, S = 4
a= 1, b= 1, c= 2, d= 2, S = 6 a= 1, b= 3, c= 4, d= 4, S = 12 a= 2, b= 3, c= 3, d= 4, S = 12 Pentagone :
Il y a 39 solutions, dont celle-ci qui est la seule `a avoir ses 5 nombres diff´erents :
1
a= 3, b= 10, c= 12, d= 15, e= 20, S = 60 Hexagone
Il y a 570 solutions, dont 27 ont leurs 6 nombres diff´erents. La solution dont la sommeS est la plus grande est :
a= 1, b= 156, c= 1.884, d= 6.123, e= 8.164, f = 8.164, S = 24.492
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