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A486. Arithm´ etique polygonale

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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A486. Arithm´ etique polygonale

Quel que soit le nombre n des cot´es d’un polygone non aplati, le plus grand cot´e doit ˆetre inf´erieur `a la somme de tous les autres.

Si chaque cot´e (en nombre entier) divise la somme des autres, il divise aussi la somme s de tous les cot´es. Les dimensions a, b, c, ... rang´ees dans l’ordre d´ecroissant, peuvent s’´ecrire :

S a0, S

b0, S

c0, ... avec S = P P CM(a, b, c...) et a0 ≤ b0, b0 ≤ c0, etc. Par construction, les nnombres des solutions n’ont pas de diviseur commun.

La condition ”non aplati” imposea0>2, soita0= 3,4,5,...

Si on appelle ”partage unitaire ennparts” un ensemble denfractions 1 ji

dont la somme vaut 1, il s’agit de trouver des P U pn (”p” pour ”particuliers” ou

”polygonaux” au choix) tels queji >2,∀i.

Comme

3≤a0 ≤n a0≤ b0 ≤ n−1

1−1/a0 b0≤c0 ≤ n−2

1−1/a0−1/b0

... , le nombre de cas `a tester est fini, de mˆeme que celui des solutions. Le reste est du domaine de l’informatique.

Il faut remarquer qu’on ne cherche pas une preuve que les solutions ont ten- dance `a avoir plusieurs nombres identiques (on fait un recensement); mais on peut donner une explication `a cette pr´evalence : toutP U pn−1fournit plusieurs P U pn en rempla¸cant une des parts 1

ji

par 2 parts 1 2×ji

(plus de nombreux autres modes).

Quadrilat`ere :

Il y a 4 solutions, qui on toutes plusieurs nombres identiques : a= 1, b= 1, c= 1, d= 1, S = 4

a= 1, b= 1, c= 2, d= 2, S = 6 a= 1, b= 3, c= 4, d= 4, S = 12 a= 2, b= 3, c= 3, d= 4, S = 12 Pentagone :

Il y a 39 solutions, dont celle-ci qui est la seule `a avoir ses 5 nombres diff´erents :

1

(2)

a= 3, b= 10, c= 12, d= 15, e= 20, S = 60 Hexagone

Il y a 570 solutions, dont 27 ont leurs 6 nombres diff´erents. La solution dont la sommeS est la plus grande est :

a= 1, b= 156, c= 1.884, d= 6.123, e= 8.164, f = 8.164, S = 24.492

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