Les polygones emboˆıt´es

Enonc´e

Les polygones emboˆıt´ es

Dans un triangle ´equilat´eral P3, je construis le plus grand carr´e (P4) qui ne d´eborde pas du triangle, puis dansP₄ le plus grand pentagone r´egulier (P₅) qui ne d´eborde pas du carr´e P₄, et ainsi de suite, pour former une suite de polygones r´eguliers o`u Pn est le plus grand polygone r´egulier `a n cˆot´es qui ne d´eborde pas dePn−1.

Montrer que le p´erim`etre p_n de P_n tend vers une limite non nulle quand n croˆıt ind´efiniment.

Mˆeme question quand on part d’un triangle ´equilat´eral Q₃, sur lequel on construit le plus petit carr´e (Q₄) qui recouvre enti`erement le triangle, puis surQ4le plus petit pentagone r´egulier (Q5) qui recouvre le carr´eQ4, et ainsi de suite, pour former une suite de polygones r´eguliers o`uQnest le plus petit polygone r´egulier `ancˆot´es qui recouvreQn−1 : montrer que le p´erim`etreq_n de Qn reste born´e.

Solution propos´ee par Jean Moreau de Saint-Martin

Une premi`ere partie r´epond strictement `a l’´enonc´e en montrant l’existence des limites. Une seconde partie cherche `a encadrer num´eriquement ces li- mites.

A – Existence des limites

Observons d’abord que quand un polygone convexe est contenu dans un autre, le p´erim`etre du polygone int´erieur est plus petit que le p´erim`etre du polygone ext´erieur. Cela peut sembler ´evident, mais une d´emonstration peut quand mˆeme ˆetre utile, j’en donne une en annexe A1.

De ce fait, la suitepn est d´ecroissante et la suite qn croissante.

Je vais montrer que la propri´et´e de l’´enonc´e vaut pour deux suites de po- lygones emboˆıt´es “sous-optimaux” (par rapport au “le plus grand” ou “ le plus petit” de l’´enonc´e), que je d´efinis par :

P_n⁰ est un polygone r´egulier `a n cˆot´es (n-gone) qui admet pour cercle cir- conscrit le cercle incrit dans P<sub>n−1</sub><sup>0</sup> ; Q<sup>0</sup><sub>n</sub> est de mˆeme un n-gone qui admet pour cercle inscrit le cercle circoncrit `aQ⁰_n−1.

Il est clair que les p´erim`etresp<sup>0</sup><sub>n</sub> des polygones P<sub>n</sub><sup>0</sup> d´ecroissent plus vite que ceux des polygones Pn : P<sub>n</sub><sup>0</sup> a au plus un point commun avec le bord de P<sub>n−1</sub><sup>0</sup> , donc unn-gone plus grand, recouvert parP<sub>n−1</sub><sup>0</sup> , peut ˆetre obtenu par une similitude de rapport r >1 ; le plus grand n-gone recouvert par P<sub>n−1</sub><sup>0</sup> , qui a pour p´erim`etre p⁰_n−1(pn/pn−1), a un p´erim`etre au moins ´egal `arp⁰_n. Ainsip_n/pn−1> p⁰_n/p⁰_n−1.

De mˆeme, les p´erim`etresq_n⁰ des polygonesQ⁰_naugmentent plus vite que ceux des polygones Qn.

Le cercle circonscrit `aP_n⁰ a pour rayon p⁰_n

2nsin(π/n), le cercle inscrit p⁰_n 2ntan(π/n), d’o`u

p⁰_n+1 = p⁰_n

2ntan(π/n)2(n+ 1) sin π n+ 1 p⁰_n+1

p⁰_n = (n+ 1) tan(π/(n+ 1)

ntan(π/n) cos π n+ 1 p⁰_b

p⁰_a = btan(π/b) atan(π/a)

b

Y

k=a+1

cosπ k et en passant `a la limite, pour binfini et a= 3,

p⁰_∞ p⁰₃ = π

3√ 3

∞

Y

k=4

cosπ k

La propri´et´e de l’´enonc´e d´ecoule de la convergence du produit infini, car le logarithme du terme g´en´eral cos(π/k) d´ecroˆıt en 1/k²,

k→∞lim k²ln cosπ

k =−π² 2 et est donc le terme g´en´eral d’une s´erie convergente.

SiLest la valeur du produit infini, on a p∞> p₃ πL

3√ 3,

soit une minoration par un nombre strictement positif, ce qui assure l’exis- tence d’une limite puisque la suitep_n est d´ecroissante.

Pour la suite de polynˆomesQ⁰_n, on a de mˆeme q⁰_n+1= q_n⁰

2nsin(π/n)2(n+ 1) tan π n+ 1 q_n+1⁰

q⁰_n = (n+ 1) sin(π/(n+ 1) nsin(π/n)

1 cos(π/(n+ 1)) q⁰_b

q_a⁰ = bsin(π/b) asin(π/a)

b

Y

k=a+1

1 cos(π/k) et en passant `a la limite, pour binfini et a= 3,

q_∞⁰ q₃⁰ = 2π

3√ 3

∞

Y

k=4

1 cos(π/k) Soit, en fonction du produit infiniL,

q∞< q3

2π 3L√

3,

ce qui assure l’existence d’une limite puisque la suiteq_n est croissante.

Annexe A.1

Soit un ensemble fini de points du plan. Quand on lui ajoute un ou des points, le p´erim`etre de l’enveloppe convexe ne peut pas diminuer.

Consid´erons un ensemble de points dont l’enveloppe convexe est le polygone A1A2. . . An. Si j’ajoute un pointB, il y a deux cas :

– ouB est int´erieur `a ce polygone ou sur ce polygone, qui reste l’enveloppe convexe de l’ensemble augment´e, avec un p´erim`etre inchang´e ;

– ou B est ext´erieur au polygone, et la nouvelle enveloppe convexe est un polygone du typeA1A2. . . A_kBAm. . . An.

Le segment BA_m rencontre les prolongements de A_kA_k+1, A_k+1A_k+2, . . ., Am−2Am−1, en des points C_k+1, C_k+2, . . .Cm−1, qui se succ`edent dans cet ordre deB `a Am.

Par l’in´egalit´e du triangle, la polygonale Am−1Cm−1A_m est plus longue que le segmentAm−1A_m; la polygonaleAm−2Cm−2A_mest plus longue que la po- lygonaleAm−2Am−1Cm−1Am, et ainsi de suite jusqu’`a la polygonaleAkBAm

qui est plus longue que la polygonaleA_kA_k+1. . . Am−1A_m.

Revenant `a un polygone int´erieur convexe contenu dans un polygone ext´erieur convexe, le polygone ext´erieur peut ˆetre consid´er´e comme l’enveloppe convexe des sommets des deux polygones, ensemble de points obtenu en ajoutant aux sommets du polygone int´erieur les sommets du polygone ext´erieur.

B – Tentative d’´ evaluation des limites

On peut d’abord calculer le produit infiniL d´efini dans la premi`ere partie.

C’est l’objet de l’annexe B.1, qui fournit l’estimationL= 0,22988409. . . Pour une minoration/majoration plus serr´ee, on peut consid´erer la configu- ration suivante, o`u la seule contrainte suppl´ementaire (par rapport `a l’opti- misation de l’´enonc´e) est que tous les polygones ont le mˆeme centre.

Soitele nombre de cˆot´es du polygone ext´erieur,icelui du polygone int´erieur, le premier devant recouvrir le second. Je note M le PPCM(e, i).

Du fait que le polygone ext´erieur (e-gone) recouvre le polygone int´erieur (i- gone), il recouvre aussi les polygones qui en d´erivent par la sym´etrie d’ordre e, polygones dont les sommets sont les sommets d’un polygone r´egulier `aM cˆot´es (M-gone). Comme le polygone ext´erieur est convexe, il recouvre tout ce polygone `aM cˆot´es. En outre, ceM-gone recouvre le polygone int´erieur, et partage avec lui son cercle circonscrit.

Comme M est multiple de e, le plus petit polygone ext´erieur est celui de mˆeme apoth`eme que le M-gone, partageant le mˆeme cercle inscrit.

Cela se traduit par des relations analogues `a celles de la premi`ere partie, compl´et´ees par un facteur cos(π/M) qui est le rapport entre les rayons des cercles inscrit et circonscrit au M-gone. Les rapports entre p´erim`etres des polygones ext´erieurs et int´erieurs s’en trouvent un peu rapproch´es de 1.

Cela conduit, dans les in´egalit´es donn´ees en fin de premi`ere partie, `a rem- placerL parL/K, o`u

K=

∞

Y

k=4

cos π

k(k−1)

L’annexe B.2 fournit pourK l’estimationK= 0,94164457. . .

Mˆeme avec L/K = 0,24413042. . ., la majoration ou la minoration qui en r´esultent pour notre probl`eme sont strictes, car la construction ci-dessus donne entre polygones ext´erieur et int´erieur un contact en deux points seule- ment sieetisont premiers entre eux. Or on voit facilement qu’un polygone int´erieur, en contact par moins de 4 sommets avec moins de 4 cˆot´es du po- lygone ext´erieur, peut ˆetre d´eplac´e de fa¸con `a pouvoir ˆetre dilat´e tout en restant contenu dans le polygone ext´erieur.

Je vais chercher maintenant un majorant meilleur que 1 (qui r´esulte de l’annexe A.1) pour le rapportp∞/p₃, et un minorant meilleur que 1 pour le rapportq∞/q3.

Des essais pour les petits nombres de cˆot´es, avec des entiers cons´ecutifs pour des polygones cons´ecutifs, me conduisent `a la conjecture suivante, sur laquelle je base mon ´evaluation num´erique.

Conjecture

Le plus grand i-gone contenu dans un e-gone peut ˆetre obtenu de la fa¸con suivante.

SoitAA⁰ une diagonale due-gone de longueur maximale. SoientBC etB⁰C⁰ deux cˆot´es oppos´es du i-gone (si i est pair) ou “presque oppos´es” (si i est impair), en sorte queBC⁰etCB⁰sont des diagonales de longueur maximale.

Placer les bases BB⁰ et CC⁰ du trap`eze (iimpair) ou du rectangle (ipair) BCC<sup>0</sup>B<sup>0</sup> parall`element `a AA<sup>0</sup>, et donner au i-gone la taille n´ecessaire pour queB etC soient sur les cˆot´es du e-gone adjacents `a A, etB⁰ etC⁰ sur les cˆot´es adjacents `aA⁰.

Si la conjecture est en d´efaut, elle conduit `a surestimer la taille dui-gone, puisque on n’y prend en compte qu’une partie des contraintes qui expriment que le i-gone est enti`erement contenu dans le e-gone (celles pour la partie BCC⁰B⁰ du i-gone). De ce fait, la conjecture conduit `a ´evaluer p∞/p3 par exc`es, et q∞/q₃ par d´efaut, si elle ne donne pas les vraies valeurs.

Deux cas sont `a examiner, en se limitant `a eet ide parit´e contraire. Dans les deux cas, AA⁰, BB⁰, CC⁰ ont mˆeme m´ediatrice, qui est axe de sym´etrie commun aux deux polygones.

1) Cas epair,iimpair.

La droiteAA⁰ est axe de sym´etrie due-gone, et on a pour les angles (AC, AA⁰) = (AA⁰, AB) =π/2−π/e.

Le p´erim`etre du e-gone est Le =AA<sup>0</sup>·esin(π/e), car AA<sup>0</sup> est un diam`etre du cercle circonscrit aue-gone.

Dans le trap`ezeBCC<sup>0</sup>B<sup>0</sup>, je peux supposer queBB<sup>0</sup> est une diagonale maxi- male dui-gone (=BC<sup>0</sup> =CB<sup>0</sup>), d’o`u les angles

(BC, BB⁰) =π/2−π/(2i), (CC⁰, CB) =π/2 +π/(2i).

Le cercle circonscrit au trap`eze a pour diam`etreBC/sin(π/i), d’o`u pour les cˆot´es

BB⁰

BC = cos(π/(2i))

sin(π/i) , CC⁰

BC = cos(3π/(2i)) sin(π/i)

Cet ensemble de relations d´etermine la figure `a similitude pr`es, et avecLi = i·BC, le rapport L_e/L_i des p´erim`etres.

La droiteAA⁰ est bissectrice des angles BAC etB⁰A⁰C⁰; elle coupeBC en DetB⁰C⁰ en D⁰. Le rapport des aires des triangles ABD etACD est

BD

CD = AB

AC = sinACB

sinABC = sin(π/e−π/(2i)) sin(π/e+π/(2i))

mais aussi, puisque dans le trap`eze la longueurDD<sup>0</sup> d’une s´ecante parall`ele aux bases est fonction affine de sa distance aux bases

= BB⁰−DD⁰ DD⁰−CC⁰

et on en tire

DD⁰

BC = cos π 2i

cotπ

i + cotπ

etan² π 2i

Le double de l’aire du triangleABC s’exprime de deux fa¸cons AB·ACsinBAC =AD·BCsin(AA⁰, BC), d’o`u

ADsin(AA⁰, BC) sinBAC =BCsinACBsinABC, puis

ADcos π 2isin2π

e =BCsin π

e + π 2i

sin

π e − π

2i

= BC 2

cosπ

i −cos2π e

=

= BC 2

cos² π

2i

1−cos2π e

−sin² π 2i

1 + cos2π e

=

= BC 2 cos² π

2isin2π e

tanπ

e −cotπ

etan² π 2i

Par sym´etrie, on aA⁰D⁰ =AD etAA⁰ =DD⁰+ 2ADsoit AA⁰

BC = cos π 2i

cotπ

i + tanπ e

= cos(π/i−π/e) 2 sin(π/(2i)) cos(π/e) puis

Le

Li

= AA⁰·esin(π/e) i·BC = e

itanπ ecos

π i −π

e sin π 2i

Avec e= 2k, je d´esigne le rapport Le/Li par α_k si i= 2k−1, et parβ_k si i= 2k+ 1. Ainsi

α_k= ktan(π/(2k)) cos(π/(4k²−2k))

(2k−1) sin(π/(4k−2)) , β_k = ktan(π/(2k)) cos(π/(4k²+ 2k)) (2k+ 1) sin(π/(4k+ 2)) 2) Cas eimpair,ipair.

On a maintenantBC perpendiculaire `a AA⁰, et dans le i-gone DD⁰=BB⁰ =CC⁰ =BCcot(π/i).

Dans le e-gone on a les angles

(AC, AA⁰) =π/2−π/(2e), (AA⁰, AB) =π/2−3π/(2e).

Les angles du triangleABC sont

BAC =π−2π/e,ABC = 3π/(2e), ACB=π/(2e).

Le double de l’aire de ce triangle est AD·BC = AB·ACsinBAC, d’o`u (avec la loi des sinus)

AD=BCsin(3π/(2e)) sin(π/(2e))

sin(2π/e) = BC

4

sin(3π/(2e)

cos(π/(2e)) cos(π/e) = BC 4

tanπ

e + tan π 2e

AA⁰ =DD⁰+ 2AD= BC 2

2 cotπ

i + tanπ

e + tan π 2e

AvecLi =i·BC,Le=AA⁰·2esin(π/(2e)), Le

Li

=

2 cotπ

i + tanπ

e + tan π 2e

e isin π

2e

Avec i= 2k, je d´esigne le rapport L_e/L_i par γ_k si e= 2k−1, et par δ_k si e= 2k+ 1. Ainsi

γk=

2 cot π

2k+ tan π

2k−1+ tan π 4k−2

2k−1

2k sin π 4k−2 δk=

2 cot π

2k+ tan π

2k+ 1+ tan π 4k+ 2

2k+ 1

2k sin π 4k+ 2 On en d´eduit, pour encadrer les limites de l’´enonc´e,

πL 3K√

3 < p∞

p3

≤

∞

Y

k=2

1 βkγk

,

∞

Y

k=2

αkδk≤ q∞

q3

< 2πK 3L√

3 avec ´egalit´e si ma conjecture est vraie pour |e−i|= 1.

Le calcul num´erique des produits infinis est trait´e dans les annexes B.3 et B.4. Il en r´esulte les encadrements

0,14760120. . . < p∞

p₃ ≤0,21338390. . . 3,03320887. . .≤ q∞

q₃ <4,95308850. . . et les valeurs corollaires de la conjecture

p∞

p3

= 0,21338390. . . q∞

q3

= 3,03320887. . .

Annexe B.1

Le d´eveloppement limit´e (par int´egration de tanx=x+x³/3 +O(x⁵))

−ln cosx= x² 2 +x⁴

12 +O(x⁶) conduit successivement `a

−ln cosπ k = π²

2k² + π⁴

12k⁴ +O(k⁻⁶)

= 2π²

4k²−1 − π²

2k²(4k²−1)+ π⁴

12k⁴ +O(k⁻⁶)

Le premier terme de ce d´eveloppement est facile `a sommer exactement :

∞

X

4

2π²

(2k+ 1)(2k−1) =

∞

X

4

π² 1

2k−1− 1 2k+ 1

= π² 7

Pour les termes de l’ordre de k⁻⁴, une approximation facile `a sommer est

f(a, k) = 1

(k+a)(k+a+ 1)(k+a+ 2)(k+a+ 3) =

= 1/3

(k+a)(k+a+ 1)(k+a+ 2)− 1/3

(k+a+ 1)(k+a+ 2)(k+a+ 3) d’o`u

∞

X

4

f(a, k) = 1

3(a+ 4)(a+ 5)(a+ 6)

Si le terme `a approcher est 1/(k<sup>4</sup>+bk<sup>3</sup>+. . .), f((b−6)/4, k) l’approche `a l’ordre k⁻⁶ pr`es.

Icib= 0 pour les deux termes de l’ordre dek⁻⁴, et^P∞₄ f(−3/2, k) = 8/945.

Ainsi lnL−2π²(201 +π²)/2835 est la somme d’une s´erie dont le terme g´en´eral

uk= ln cosπ

k + 2π²

4k²−1+ 2π⁴−3π²

24 f

−3 2, k

d´ecroˆıt enk⁻⁶.

Comme F(4) = 2π²(201 +π²)/2835, on obtient avec quelques dizaines de termes u_k (k= 4 `a 90) l’estimation

lnL=−1,47018005. . . etL= 0,22988409. . . Remarque

On est limit´e, dans la recherche de pr´ecision, par le fait que le terme g´en´eral de cette s´erie est obtenu par diff´erence de termes d´ecroissant en k⁻² seule- ment, ce qui rend le r´esultat sensible aux erreurs d’arrondi.

En observant la variation du produitu_k·k⁶ aveck, on voit qu’il se stabilise

`

a−3,85 environ, ce qui montre que pour k= 40 `a 90 l’influence des termes suivants (k<sup>−8</sup> et au-del`a) du d´eveloppement limit´e est faible ; les variations erratiques qui traduiraient l’influence des erreurs d’arrondi sont faibles (de l’ordre de 0,01% suruk).

On a en effet, en tenant compte du terme enx⁶du d´eveloppement de ln cosx, limk→∞(u_k·k⁶) =−9π²/32 + 5π⁴/24−π⁶/45 =−3,84647. . ..

On peut alors ´evaluer le reste de la s´erie park/5 fois le dernier terme n´eglig´e, et se limiter `a une quarantaine de termes.

Annexe B.2

De mani`ere analogue `a l’annexe B.1, on obtient le d´eveloppement limit´e

−ln cos π

k(k−1) = π²

2k²(k−1)² +O(k⁻⁸) = de l’ordre dek⁻⁴ avec b=−2, d’o`u a=−2,^P∞₄ f(−2, k) = 1/72.

d’o`u la somme lnK+π²/144 pour la s´erie^P∞₄ v_k, de terme g´en´eral d´ecroissant commek⁻⁶

v_k= ln cos π

k(k−1)+π²

2 f(−2, k) limk→∞(v_k·k⁶) =π².

Le calcul sur tableur avec une soixantaine de termes donne lnK =−0,06012739. . ., K= 0,94164457. . ..

Annexe B.3

Les expressions obtenues pr´ec´edemment pour β_k et γ_k conduisent, apr`es quelques simplifications, `a

β_kγ_k= (2k−1) sin(π/(4k−2))

(2k+ 1) sin(π/(4k+ 2))·cos π 2k(2k+ 1)

1 +1

2tan π 2k

tan π

2k−1 + tan π 4k−2

Le premier facteur donne lieu dans le produit infini `a une simplification

“t´elescopique”, et on obtient, pour contribution `a J =^Q∞₂ β_kγ_k, (6/π) sin(π/6) = 3/π.

Le second et le troisi`eme facteurs se traitent, de mani`ere analogue `a l’annexe B.2, par un d´eveloppement limit´e du logarithme, soit pour le second facteur

−ln cos π

2k(2k+ 1) = π²

8k²(2k+ 1)² +O(k⁻⁸)

Pour le troisi`eme facteur, on ´etablit d’abord le d´eveloppement limit´e de la grande parenth`ese, `a partir de tanx=x+x³/3 +O(x⁵)

1 +1 2

π

2k + π³

24k³ + 0(k⁻⁵)

! 3π

4k−2 + 3π³

8(2k−1)³ +O(k⁻⁵)

!

= 1 + 3π²

8k(2k−1)+ π⁴

32k³(2k−1)+ 3π⁴

32k(2k−1)³ +O(k⁻⁶) d’o`u le logarithme

3π²

8k(2k−1)− 9π⁴

128k²(2k−1)² + π⁴

32k³(2k−1)+ 3π⁴

32k(2k−1)³ +O(k⁻⁶) En ajoutant les logarithmes du second et du troisi`eme facteur, on obtient

− π²

8k²(2k+ 1)²+ 3π²

8k(2k−1)− 9π⁴

128k²(2k−1)²+ π⁴

32k³(2k−1)+ 3π⁴

32k(2k−1)³+O(k⁻⁶) qui est l’expression approch´ee du terme g´en´eral d’une s´erie de somme ln(J π/3).

Le second terme de ce d´eveloppement est facile `a sommer exactement :

∞

X

2

3π² 8k(2k−1) =

∞

X

2

3π²/4

2k−1−3π²/4 2k

!

= 3π² 4

ln 2−1 2

Pour les termes de l’ordre de k⁻⁴, on op`ere comme pr´ec´edemment, avec

∞

X

2

f(a, k) = 1

3(a+ 2)(a+ 3)(a+ 4)

Selon le terme consid´er´e, on a

b= 1, a=−5/4, ^P∞₂ f(−5/4, k) = 64/693 ; b=−1,a=−7/4,^P∞₂ f(−7/4, k) = 64/135 ; b=−1/2,a=−13/8,^P∞₂ f(−13/8, k) = 512/1881 ; b=−3/2,a=−15/8,^P∞₂ f(−15/8, k) = 512/459.

Ainsi le nombre ln(J π/3)−3π²(ln 4−1)/8 est la somme de la s´erie de terme g´en´eral

−π² 32f

−5 4, k

−9π⁴ 512f

−7 4, k

+π⁴

64f

−13 8 , k

+3π⁴

256f

−15 8 , k

+w_k o`u le termewk d´ecroˆıt comme k⁻⁶. On a en cons´equence

lnJ = ln 3−lnπ+π² 3

4ln 2−2095

5544+11501π² 1279080

! +

∞

X

2

w_k avec

w_k = ln cos π

2k(2k+ 1)+ ln

1 +1 2tan π

2k

tan π

2k−1 + tan π 4k−2

−

− 3π²

8k(2k−1)+π² 32f

−5 4, k

+9π⁴

512f

−7 4, k

−π⁴ 64f

−13 8 , k

−3π⁴ 256f

−15 8 , k

Le calcul sur tableur avec 80 termes donne lnJ = 1,54466237. . ., 1/J = 0,21338390. . ..

Annexe B.4

On observe qu’il suffit de changerk en −k pour transformer βkγk en αkδk, puisque

α_kδ_k= (2k+ 1) sin(π/(4k+ 2))

(2k−1) sin(π/(4k−2))·cos π 2k(2k−1)

1 +1

2tan π 2k

tan π

2k+ 1+ tan π 4k+ 2

A nouveau, le premier facteur donne lieu dans le produit infini `a une sim- plification “t´elescopique”, avec pour contribution `a H=^Q∞₂ α_kδ_k,

π/(6 sin(π/6)) =π/3.

Le logarithme du 3e facteur (grande parenth`ese) a pour partie principale 3π²

8k(2k+ 1) = 3π²/4

2k − 3π²/4 2k+ 1 d’o`u la somme 3π<sup>2</sup>(5/6−ln 2)/4 pourk= 2 `a +∞.

Dans les termes de l’ordre de k⁻⁴, le changement de k en −k conduit `a changer f(a, k) en f(−a−3, k). Ainsi ln(3H/π)−3π²(5/6−ln 2)/4 est la somme de la s´erie de terme g´en´eral

−π² 32f

−7 4, k

−9π⁴ 512f

−5 4, k

+π⁴

64f

−11 8 , k

+3π⁴

256f

−9 8, k

+tk

o`u le termet<sub>k</sub> d´ecroˆıt comme k<sup>−6</sup>. Outre des sommes d´ej`a obtenues, on a : poura=−11/8,^P∞₂ f(−11/8, k) = 512/4095 ; poura=−9/8,^P∞₂ f(−9/8, k) = 512/7245.

On a en cons´equence

lnH= lnπ−ln 3 +π² −3

4ln 2 + 659

1080+ 9601π² 8288280

! +

∞

X

2

tk

avec

t_k = ln cos π

2k(2k−1)+ ln

1 +1 2tan π

2k

tan π

2k+ 1+ tan π 4k+ 2

−

− 3π²

8k(2k+ 1)+π² 32f

−7 4, k

+9π⁴

512f

−5 4, k

−π⁴ 64f

−11 8 , k

−3π⁴ 256f

−9 8, k

Le calcul sur tableur avec 80 termes donne lnH = 1,10962109. . ., H = 3,03320887. . ..