Enveloppe convexe

(1)

Enveloppe convexe

(2)

Enveloppe convexe

(3)

(4)

Point extremal

(5)

Point extremal

(6)

Premier algorithme : Jarvis

(7)

Le point le plus bas est extr´emal

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

On trouve le suivant

(13)

On trouve le suivant Puis le suivant

(14)

On trouve le suivant Puis le suivant

Et ainsi de suite

(15)

entr´ee : S un ensemble de points.

u=le point le plus bas de S;

min=∞

Pour toutw∈S\ {u}

siangle(ux, uw)< min alorsmin=angle(ux, uw);v =w;

(16)

Premier algorithme : Jarvis Complexit´e ?

min=∞

Pour toutw∈S\ {u}

u.suivant=v;

Faire

S =S\ {v}

Pour toutw∈S min=∞

siangle(v.pred v, vw)< min alors

min=angle(v.pred v, vw); v.suivant=w;

v =v.suivant;

Tant que v 6=u

(17)

O(n)

min=∞

Pour toutw∈S\ {u}

(18)

O(n) Premier algorithme : Jarvis

Complexit´e ?

min=∞

Pour toutw∈S\ {u}

u.suivant=v;

Faire

S =S\ {v}

v =v.suivant;

Tant que v 6=u

(19)

min=∞

Pour toutw∈S\ {u}

(20)

min=∞

Pour toutw∈S\ {u}

u.suivant=v;

Faire

S =S\ {v}

v =v.suivant;

Tant que v 6=u O(n)

(21)

min=∞

Pour toutw∈S\ {u}

O(n²)

(22)

min=∞

Pour toutw∈S\ {u}

u.suivant=v;

Faire

S =S\ {v}

v =v.suivant;

Tant que v 6=u

O(nh)

(23)

Deuxi`eme algorithme : Graham

(24)

Deuxi`eme algorithme : Graham Un point int´erieur

(25)

Tri autour de ce point

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

Un point int´erieur

Parcours depuis le point le plus bas

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

(46)

origine = barycentre de 3 points de S;

trier S autour de l’origine;

u = le point le plus bas de S;

v = u;

tant que v.suivant 6= u

si (v, v.suivant, v.suivant.suivant) tourne `a gauche v = v.suivant;

sinon

v.suivant = v.suivant.suivant;

si v 6= u v = v.precedent;

(47)

Deuxi`eme algorithme : Graham Complexit´e

(48)

v = u;

sinon

(49)

O(n log n)

(50)

v = u;

sinon

O(n log n) O(1)

(51)

O(n log n) O(1) O(n)

(52)

v = u;

sinon

(53)

(54)

v = u;

sinon

au plus n suppressions

(55)

(56)

v = u;

sinon

au plus n suppressions

au plus n fois

(57)

(58)

v = u;

sinon

O(n log n)

(59)

Variante: origine en y = −∞

(60)

Tri en x

(61)

Tri en x

(62)

Tri en x

Enveloppe sup´erieure

(63)

(64)

Autre algorithme par tri en x

(65)

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)

(71)

(72)

trier S en x;

initier une liste circulaire avec les 3 points les plus à gauche tel queuà droite etu, u.suivant, u.suivanttourne à gauche; Pour v le prochain en x

w=u

tant que (v, u, u.suivant) tourne `a droite u= u.suivant;

v.suivant = u; u.pred = v;

tant que (v, w, w.pred) tourne `a gauche w = w.pred;

v.pred = w; w.suivant= v;

u= v;

(73)

trier S en x;

w=u

u v Autre algorithme par tri en x

(74)

trier S en x;

w=u

u= v;

u

(75)

trier S en x;

w=u

u u

(76)

trier S en x;

w=u

u= v;

w

(77)

trier S en x;

w=u

ww

(78)

trier S en x;

w=u

u= v;

ww u

(79)

trier S en x;

w=u

Complexit´e

(80)

trier S en x;

w=u

u= v;

Complexit´e O(n log n)

(81)

trier S en x;

w=u

(82)

trier S en x;

w=u

u= v;

Complexit´e

Dessiner une arˆete dans la triangulation

(83)

trier S en x;

w=u

Complexit´e

(84)

trier S en x;

w=u

u= v;

Complexit´e O(n log n)

(85)

Un algorithme division fusion

(86)

(87)

(88)

Tangentes communes

(89)

Tangente sup´erieure

(90)

Points les plus hauts

(91)

(92)

(93)

O(n)

(94)

Complexit´e

f(n) =

(95)

Complexit´e

f(n) = A · n + f(ⁿ₂) + f(ⁿ₂)

(96)

Complexit´e

f(n) = A · n + f(ⁿ₂) + f(ⁿ₂)

= O(n logn)

(97)

Complexit´e

f(n) = A · n + f(ⁿ₂) + f(ⁿ₂)

(98)

Cas particulier : polygone simple

(99)

(d´ej`a vu : chaine polygonale monotone)

(100)

Graham marche pas

(101)

Graham marche pas

(102)

Graham marche pas

(103)

Graham marche pas

(104)

Graham marche pas

(105)

Graham marche pas

(106)

Graham marche pas

(107)

Graham marche pas

(108)

(109)

Cas particulier : polygone simple Principe : boucher les poches

(110)

(111)

(112)

A B

(113)

B C

(114)

A

B C

D

(115)

(116)

(117)

B

(118)

D C

(119)

C

(120)

A B

(121)

B

(122)

A B

(123)

B

(124)

(125)

B C

(126)

A

B C

D

(127)

B C

(128)

A

B C

D

O(1)

(129)

(130)

Un algorithme incr´emental

(131)

(132)

(133)

(134)

(135)

(136)

(137)

(138)

Un d´ecoupage du plan

(139)

Un d´ecoupage du plan

(140)

Un d´ecoupage du plan selon la tangente `a droite

(141)

Un d´ecoupage du plan selon la tangente `a droite

(142)

Un algorithme incr´emental Un d´ecoupage du plan

(143)

(144)

(145)

(146)

(147)

(148)

(149)

(150)

(151)

(152)

(153)

(154)

(155)

sym´etriquement

(156)

(157)

(158)

(159)

(160)

(161)

Complexit´e

(162)

Complexit´e

Complexit´e d’un nœud

(163)

Complexit´e

Complexit´e d’un nœud O(1)

(164)

Complexit´e

Arbre ´equilibr´e

(165)

Complexit´e

(166)

L’algorithme du paquet cadeau

(167)

(168)

(169)

(170)

(171)

(172)

(173)

(174)

(175)

(176)

(177)

(178)

(179)

(180)

(181)

(182)

(183)

(184)

Algorithme division fusion

(185)

(186)

(187)

(188)

(189)

(190)

(191)

(192)

(193)

(194)

(195)

(196)

O(n)

(197)

O(n)

O(n logn)

(198)

C’est tout pour aujourd’hui