A486. Arithmétique polygonale
Q1 - Les dimensions des côtés d’un quadrilatère (non aplati) sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des trois autres. Démontrer que deux côtés au moins de ce quadrilatère sont égaux.
Q2 - Les dimensions des côtés d’un pentagone (non aplati) sont des nombres entiers tels que l’une quelconque d’entre elles divise la somme des quatre autres. Démontrer que deux côtés au moins sont égaux ou bien que les dimensions distinctes des côtés sont proportionnelles à celles d’un quintuplet primitif unique
Solution proposée par Gaston Parrour
Q1 Les dimensions entières d'un quadrilatère non aplati sont telles que l'une quelconque divise la somme des 3 autres ==> deux côtés au moins du quadrilatère sont égaux
Préliminaires
Quatre nombres entiers ai i = 1, 4 vérifient le système suivant (S1) de 4 équations
(S1) → ki ai = S – ai où S = a1+a2+a3+a4 est la somme de ces quatre nombres ai Dans la suite les ki sont ordonnés k1 < k2 < k3 < k4 ; les inégalités sont strictes si les ai sont tous distincts N.B. Nécessairement 1 < k1 (strictement) car l'égalité signifie a1 = a2+a3+a4 → quadrilatère aplati Pour simplifier l'écriture dans la suite on utilise Ki = ki + 1
→ A partir du système (S1) on a donc les quatre égalités K1 a1 = K2 a2 = K3 a3 = K4 a4 = S
(les dimensions ai et aj sont égales, ssi les Ki et Kj correspondants sont égaux)
On peut remplacer le système (S1) par le système suivant, homogène de 4 équations aux quatre inconnues ai a1 + a2 + a3 – (K4-1) a4 = 0
K1a1 - K2a2 = 0 système (S'1) K2a2 - K3a3 = 0
K3a3 - K4a4 = 0 Recherche d'une solution non triviale pour le système (S'1)
→ Une telle solution existe si le déterminant de Kramer ''delta'', associé au système (S), est nul.
Puisqu'alors trois des inconnues s'expriment en fonction d'une quatrième, il existe alors une infinité de solutions dépendant des choix multiples possible d'une des 4 inconnues.
→ Le déterminant ''delta'' est celui de la matrice suivante 1 1 1 -(K4-1)
K1 -K2 0 0 0 K2 -K3 0 0 0 K3 -K4
D'où delta = K1K2K3K4 [ 1 – (1/K1+1/K2+1/K3+1/K4) ]
==> Delta = 0 pour s = (1/K1+1/K2+1/K3+1/K4) = 1 (E1) Compte tenu des préliminaires et des notations : 2 < K1 < K2 < K3 < K4
Remarque : si dans la somme s de (E1) un des Ki est remplacé par K'i > Ki , la nouvelle somme s' < s Avec cela, la plus grande somme s que l'on peut réaliser avec des Ki distincts est
1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 = 57/60 et puisque cette somme est inférieure à l'unité, ==> Il est impossible de satisfaire (E1) avec 4 Ki distincts
Un quadrilatère satisfaisant aux condition de l'énoncé ne peut avoir 4 longueurs ai de côtés distinctes Cependant, en remarquant que 1/2 + 1/3 + 1/6 = 1 , on peut obtenir une somme s à 4 termes vérifiant (E1) en ''dédoublant'' un des termes :
avec 1/2 = 1/4 +1/4 on obtient 1/3 + 1/4+ 1/4 + 1/6 = 1 soit (K1,K2,K3,K4) = (3, 4, 4, 6)
→ Avec au moins deux Ki égaux l'égalité (E1) peut être satisfaite
Alors une solution du système (S'1) en choisissant par exemple pour variable arbitraire a4, est aj = K4a4 / Kj
Avec le quadruplet Ki précisé ci-dessus :
(K1,K2,K3,K4) = (3, 4, 4, 6) → a1 = 2 a4 a2 = 3/2 a4 a3 = 3/2 a4
Et en choisissant a4 pair, on obtient une infinité de solutions où les dimensions des côtés du quadrilatère sont des entiers et où (ici) deux de ces dimensions sont égales.
Dernière remarque : dans le cas du quadrilatère ''aplati'' pour lequel k1 = 1 et donc K1 = 2 , peut-on obtenir 1/2 + 1/K2 +1/K3 +1/K4 = 1 ? (1)
A partir de 1/2 +1/3 + 1/6 = 1 , pour obtenir 4 termes, il est nécessaire que K3 > 6
Avec K3 = 7 → 1/2 +1/3 + 1/7 = 41/42 donc avec K4 = 42 l'égalité (1) à 4 termes est satisfaite le quadruplet (K1,K2,K3,K4) = (2, 3, 7, 42) correspond à un quadrilatère ''aplati''
Avec K3 = 8 → 1/2 +1/3 + 1/8 = 23/24 donc avec K4 = 24 l'égalité (1) est satisfaite le quadruplet (K1,K2,K3,K4) = (2, 3, 8, 24) correspond à un quadrilatère ''aplati'' Q2 Les dimensions entières d'un pentagone non aplati sont telles que l'une quelconque divise la somme des 4 autres
==> deux côtés au moins du pentagone sont égaux
ou bien les dimensions distinctes sont proportionnelles à celles d’un quintuplet primitif unique Les 5 dimensions sont notées ai , i=1, 5
En conservant les notations de la question Q1 : on a affaire à un système (S2) de 5 équations (S2) → Ki ai = S où S = a1+a2+a3+a4+a5 est la somme des 5 nombres ai Et les Ki sont ordonnés K1 < K2 < K3 < K4<K5 (inégalités strictes si tous les ai sont distincts) ; et ici également, si k1 = 1 (i.e. K1 = 2) , on obtient un pentagone aplati ==> K1 > 2 strictement
Il en résulte de (S2) un système (S'2) (semblable à celui de Q1) a1 + a2 + a3 + a4 – (K5-1) a5 = 0
K1a1 - K2a2 = 0
K2a2 - K3a3 = 0 système (S'2) K3a3 - K4a4 = 0
K4a4 - K5a5 = 0 En suivant la même démarche qu'en Q1 :
→ La solution non triviale de ce système homogène est obtenue lorsque le déterminant ''delta'' associé est nul Ici la dimension supplémentaire conduit à
==> delta = 0 pour s = (1/K1+1/K2+1/K3+1/K4+1/K5) = 1 (E2) Les Ki peuvent-ils être tous distincts ?
Avec K1 > 2 le maximum avec les quatre premier termes est
1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 = 57/60 ce qui conduit au choix 1/K5 = 3/60 = 1/20 L'entier K5 = 20 est parfaitement acceptable ; d'où le quintuplet de Ki tous distincts
==> (K1,K2,K3,K4,K5) = (3, 4, 5, 6, 20) Ce quintuplet est-il unique ?
On peut procéder en supprimant successivement les termes les plus élevés de la somme s dans (E2) pas de 1/3 en K1
La somme maximale est alors 1/4 + 1/5 + 1/6 + 1/7 +1/8 = 743/840 < 1 pas de 1/4 en K2
La somme maximale est alors 1/3 + 1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 = 813/840 < 1 ==> K1 = 3 et K2 = 4 sont nécessaires à la réalisation de l'égalité (E2) . Alors considérons
le terme K3 - pas 1/5
La somme maximale est alors 1/3 + 1/4+ 1/6 + 1/7 + 1/8 = 171/168 > 1 Puisque
1/3 + 1/4+ 1/6 + 1/7 = 75/84 , à partir de cela, recherche par balayage sur K4 > 6 de ''K5'' tel que 1/3 + 1/4+ 1/6 + 1/7 + 1/K5 = 1 → 1/K5 = 5/84 ''K5'' = 16,8 non entier 1/3 + 1/4+ 1/6 + 1/8 + 1/K5 = 1 → 1/K5 = 3/24 K5 = 8 entier K4 convient≥ (on note ensuite que 1/3 + 1/4+ 1/6 + 1/K4 avec K4 > 8 conduit nécessairement à K5 < 8! )
==> on obtient ici un quintuplet dans lequel K4 et K5 sont égaux (K1,K2,K3,K4,K5) = (3, 4, 6, 8, 8) Cela conduit à deux côtés égaux pour le pentagone
- pas 1/6
Comme précédemment, puisque 1/3 + 1/4+ 1/5 + 1/7 = 389/420 , on fait un balayage sur K4 >6 1/3 + 1/4+ 1/5 + 1/7 + 1/K5 = 1 → ''K5'' = 13,54 …
1/3 + 1/4+ 1/5 + 1/8 + 1/K5 = 1 → ''K5'' = 10,90 … 1/3 + 1/4+ 1/5 + 1/9 + 1/K5 = 1 → ''K5'' = 9,47 … ( ensuite le candidat ''K5'' (entier ou non) est inférieur à K4 )
- pas 1/5 NI 1/6
La somme maximale des 4 premiers termes distincts est alors 1/3 + 1/4 + 1/7 + 1/8 = 143/168 Cela conduit à 1/K5 = 25/168 ''K5'' = 6,72 → ce ''K5'' (non entier !) est déjà inférieur à K4
En conclusion
==> Les 2 premiers termes K1 = 3 et K2 = 4 sont nécessaires pour obtenir une solution à l'égalité (E2) S'ils sont complétés par
K3 = 5 et K4 =6 alors une solution à (E2) est obtenue avec K5 = 20 (quintuplet de Ki distincts) K3 = 6 alors une solution à l'égalité (E2) est obtenue avec K4 = 8 et K5 = 8 (deux Ki sont égaux) si K3 > 6 il n'y a pas de solution avec K5 entier > K4
==> A partir de l'unique quintuplet de Ki distincts, (K1,K2,K3,K4,K5) = (3, 4, 5, 6, 20) , on peut définir des pentagones dont tous les côtés sont de longueur différente.
Le système (S'2) admet alors les solutions suivantes (définies à partir de a5 par exemple) ai = K5a5 / Ki
soit a1 = 20/3 a5 a2 = 5 a5 a3 = 4 a5 a4 = 10/3 a5 a5
Pour que ces dimensions soient des entiers, il faut choisir a5 = 3m où m est un entier naturel quelconque ==> Les dimensions des pentagones dont les côtés sont dissemblables et qui répondent aux conditions de l'énoncé sont donc définis à partir du quintuplet primitif suivant
(a1, a2, a3, a4, a5) = ( 20, 15 , 12, 10, 3)
Dernière remarque : Il y a une infinité de pentagones de dimensions entières satisfaisant aux conditions de l'énoncé et dans lesquels deux ou plusieurs côtés sont égaux
Un premier exemple rencontré ci-dessus au cours de l'examen de l'unicité du quintuplet de Ki distincts est celui résultant du quintuplet (K1,K2,K3,K4,K5) = (3, 4, 6, 8, 8)
D'autres exemples sont fournis par la question Q1
1 - A partir des quadruplets de Ki retenus, comme par exemple (K1,K2,K3,K4) = (3, 4, 4, 6) → on peut ''dédoubler'' un des termes de la somme s = (1/K1+1/K2+1/K3+1/K4) = 1 pour créer un quintuplet qui vérifie l'égalité (E2)
Exemple : avec 1/3 = 1/6 + 1/6 on crée le quintuplet (K1,K2,K3,K4,K5) = (4,4,6,6,6) qui correspond à un pentagone possédant les propriétés de l'énoncé (divisibilités) avec ici 2 côtés égaux entre eux et les trois autres côtés égaux entre eux (il suffit ici d'exprimer par exemple a1 a2 a3 et a4 en fonction de a5 pair) Par ce procédé, de nombreux pentagones peuvent être créés dans lesquels des côtés sont égaux entre eux 2 - En utilisant la dernière remarque de la question Q1 où sont indiqués des quadruplets de Ki ''distincts'' correspondant à un quadrilatère aplati : ces quadruplets, par le ''dédoublement'' de K1 = 2 ,fournissent un pentagone non aplati avec deux côtés égaux.
Exemple : avec (K1,K2,K3,K4) = (2, 3, 7, 42) et 1/2 = 1/4+1/4 ,
on obtient le quintuplet (K1,K2,K3,K4,K5) = (3, 4, 4, 7, 42) qui correspond à un pentagone avec 2 côtés égaux
