Enoncé A629 (Diophante) La porte étroite
Q1 Trouver le plus petit entier pair N tel qu’il existe sept entiers stricte- ment positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d’entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Q2 Pour les plus courageux : exprimer en fonction de l’entierk >0, la plus petite valeur de l’entier pair N tel qu’il existe 2k+ 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d’entre eux sont toutes au plus égales àN/2.
Application numérique : trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 diviseN.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
La question 1 étant le cas k = 3 du cas général, je vais directement à celui-ci.
Soitm la médiane des 2k+ 1 entiers ; la somme des kplus grands entiers est au moins celle des entiers dem+ 1 à m+k, d’où la condition
mk+k(k+ 1)/2≤N/2.
La somme desk+ 1 plus petits est > N/2, pour que la somme des 2k+ 1 entiers soit> N; or c’est au plus la somme des entiers dem−kàm, soit m(k+ 1)−k(k+ 1)/2> N/2.
Par différencem > k(k+ 1). La plus petite valeur de N résulte de la plus petite valeur possible pourm, qui estm=k2+k+ 1 ; ensuite
k(k2+k+ 1) +k(k+ 1)/2≤N/2<(k+ 1)(k2+k+ 1)−k(k+ 1)/2.
Cela donne 2k3+ 3k2+ 3k≤N <2k3+ 3k2+ 3k+ 2.
Le seul entier pair satisfaisant cette inégalité estN = 2k3+ 3k2+ 3k.
Pourk= 3, (question 1),N = 90, m= 13, les 7 entiers vont de 10 à 16.
Pour la divisibilité deN =k(2k2+ 3k+ 3) par 2016 = 25·32·7 (question 2),
– modulo 32 : sik est pair, 2k2+ 3k+ 3 est impair, il faut que 32 divise k; sikest impair, 32 doit diviser 2k2+ 3k+ 3−6×32 = (k−9)(2k+ 21), donck−9.
– modulo 9 : si kn’est pas multiple de 3, 2k2+ 3k+ 3 non plus ; si k est multiple de 3, 2k2+3k+3 aussi, doncN est multiple de 9 seulement quand kest multiple de 3.
– modulo 7 : 2k2+ 3k+ 3 = (k+ 1)2+ (k+ 4)2−7(k+ 2) n’est jamais multiple de 7 car 7 ne divise aucune somme de deux carrés premiers entre eux ; il faut quek soit multiple de 7.
Ainsik est multiple de 21 et son reste modulo 32 est 0 ou 9. Il en résulte que son reste modulo 672 est 0 ou 105.
La plus petite valeur > 0 est k = 105, m = 11131, il y a 211 entiers de 11026 à 11236, de somme 2348641, alors que la somme de 105 d’entre eux ne dépasse pas 1174320 ; en définitiveN = 2348640 = 2016×1165.
