A629. La porte étroite
Q1 Trouver le plus petit entier pair N tel qu’il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande queN et les sommes de trois quelconques d’entre eux sont toutes au plus égales à N2.
Q2 Pour les plus courageux: exprimer en fonction de l’entier k > 0, la plus petite valeur de l’entier pairN tel qu’il existe 2k+ 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande queN et les sommes dek quelconques d’entre eux sont toutes au plus égales à N2.
Application numérique: trouver la plus petite valeur dek telle que 2016 divise N.
Solution proposée par Pellicer Simon
Q1 . N= 90
Tout d’abord démontrons le résultat suivant :
Soit une suite (x1, x2, ..., xn) (ordonné par odre croissant xi < xi+1) de n∈N consécutifs distincts et une suite (w1, w2, ..., wn) (ordonné par ordre croissant wi< wi+1) d’entiers distincts telle que
n
X
i=1
xi=
n
X
i=1
wi.
Prouvons que
n
X
i=k
xi≤
n
X
i=k
wi aveck un entier.
Supposons par l’absurde que l’on est :
n
X
i=k
wi <
n
X
i=k
xi. Cela suppose que
k
X
i=1
wi >
k
X
i=1
xi, or puisque les xi sont des entiers consécutifs on en déduit d’après ces suppositions quewk< xk. Or si c’est le cas on ne pourrait pas avoir
n
X
i=1
xi=
n
X
i=1
wi. Cela démontre donc le résultat précedemment énoncé.
Ainsi à partir de là on peut trouver le plus petit N pair. On sait que le plus entierNdoit être générer par une suite d’entiers consécutifs. Effectivement dire que "trois quelconques d’entre eux sont toutes au plus égales àN2" revient à dire que la somme des trois plus grand entiers de la somme des 7 entiers est≤ N2. Ainsi il faut miniser la somme de ces trois entiers et on sait que pour ce faire il faut prendre une suite d’entiers consécutifs.
Soitmun entier impair. Soit S la somme de 7 entiers consécutifs :
S=m+m+ 1 +m+ 2 +m+ 3 +m+ 4 +m+ 5 +m+ 6⇔S= 7m+ 21. Cette somme sera donc pair, il faut donc que :
m+ 6 +m+ 5 +m+ 4≤7m+192 ⇔3m+ 15≤ 7m+192 ⇔m≥11.
Dans ce cas on trouveN = 7·11 + 19 = 96
1
Maintenant si m est un entier pair alors 7m+ 19 est impair donc cette fois ci on à l’ inégalité :
3m+ 15≤7m+202 ⇔m≥10
Dans ce cas on aN = 7·10 + 20 = 90. Ainsi le plus petit entierN est N= 90.
Q2 .
On effectue un raisonnement similaire qu’à laQ1. SoitS la somme : S=
2k
X
i=0
m+i⇔S = (2k+ 1)·m+2k(2k+ 1)
2 ⇔S= (2k+ 1)(k+m) On a deux inégalités suivant la parité deS :
-S pair : S−22 ≥ (m+2k)(m+2k+1)
2 −(m+k)(m+k+1)
2 ⇔m≥k2+ 2 -S impair : S−12 ≥(m+2k)(m+2k+1)
2 −(m+k)(m+k+1)
2 ⇔m≥k2+ 1
Ork2+ 1≤k2+ 2 donc finalement on en déduit : N = (2k+ 1)(k2+k+ 1) soit N= 2k3+ 3k2+ 3k.
A l’aide des formules on trouve : k= 105
2
