Q₁ -Trouver 78 entiers consécutifs strictement positifs, appelés décatriaphobes dont la somme des chiffres n’est jamais divisible par 13.
Q₂ - Trouver le plus grand nombre possible > 100 d’entiers (décaheptaphobes) consécutifs strictement positifs dont la somme des chiffres n’est jamais divisible par l’entier k= 17 Même question avec k = 19 (entiers décaennéaphobes)
Q₃ - Pour les plus courageux : décrire une méthode permettant de trouver le plus petit entier k tel qu’il existe au moins 2021 entiers consécutifs strictement positifs dont la somme des chiffres n’est jamais divisible par k.
Q1 : Le premier entier dont la somme des chiffres (sdc) est égale à 13 est 49, puis ils se succèdent de 9 en 9, avec un saut de 45 entre 94 et 139, etc... jusqu’à 940, le suivant étant 1039 ; mais vient s’intercaler 989 (puis 998) dont la sdc est 2*13=26
De la même manière la sdc du nombre 10n-10m (où m≤9) est égale à 9(n-1)-m+1, soit 9n-m-8 que nous supposerons divisible par 13 ; il n’y aura pas d’autre nombre de ce type avant 10n+39 si 49>10m, soit m=4 comme plus grande valeur possible ; n=10 est la plus petite valeur telle que 9n-12 soit divisible par 13.
Donc les 78 entiers de 1010-39= 9 999 999 961 à 1010+38=10 000 000 038 répondent à la question.
Q2 : Appliquons la même démarche aux entiers dont la sdc est divisible par 17, dont le premier est 89 : 80 étant la plus grande dizaine inférieur à 89, nous cherchons un
nombre de la forme 10n-80 dont la sdc 9n-16 soit multiple de 17 : la plus petite valeur est n=15, ce qui donne les 158 nombres de 1015-79 à 1015+78.
Le plus petit nombre dont la sdc est divisible par 19 est 199 : 10n-100 a une sdc égale à 9(n-2), divisible par 19 pour n=21 : il y a donc 198 entiers de 1021-99 à 1021+98 dont la sdc n’est pas divisible par 19.
Q3 : En s’inspirant de k=19, on peut remarquer qu’il faut un nombre de 4 chiffres, à savoir 1999, pour obtenir une sdc de 28 : 10n-1990 a une sdc égale à 9(n-3), divisible par 28 pour n=31 : on obtient 2988 entiers de 1031-1989 à 1031+998.
