A389. Les décaXphobes
Pour le nombre premier p, après chaque puissance de 10 « suffisament grande », on trouve une séquence de nombres consécutifs dont la somme des chiffres est non divisible par p :
par exemple, pour p = 11 : de 1—00 à 1—18
où — représente une chaîne de 0 de longueur quelconque.
En effet pour le nombre suivant 1—19, la SdC est divisible par 11.
Dans cet exemple, « suffisament grande » veut dire 102 On a donc le choix entre
de 100 à 118, ou de 1000 à 1018, ou de 10000 à 10018, ...
Les nombres qui précèdent la borne inférieure (10n) permettent d'agrandir la séquence et ce d'autant plus si 10n -1 a une SdC congrue à p-1 modulo p
Pour p = 11 on a SdC(999999) = 54 = 4 x 11 + 10 : 4 x 11 = 44 = 4 x 9 + 8 => SdC(999980) divisible par 11
Séquence retenue pour p = 11 : de 999981 à 1000018 (38 nombres)
Il y a autant de nombres strictement inférieurs à la puissance de 10 que de nombres supérieurs (ou égal) à cette valeur puisque la somme
(10n – 1 – a) + (10n + a) est divisible par p (avec la bonne valeur de n évidemment)
Nombre premier Borne inférieure Borne supérieure Longueur
11 999981 1000018 38
13 9999999961 10000000038 78
17 (13 fois 9)21 1(13 fois 0)78 158
19 1 198 198
23 99501 100498 998
29 (12 fois 9)8001 1(12 fois 0)1998 3998
31 (20 fois 9)6001 1(20 fois 0)3998 7998
37 1 19998 19998
