Diophante A389 – Les décaXphobes [** à la main]
Q -Trouver 78 entiers consécutifs strictement positifs, appelés décatriaphobes dont la ₁ somme des chiffres n’est jamais divisible par 13.
Q - Trouver le plus grand nombre possible > 100 d’entiers (décaheptaphobes) consécutifs ₂ strictement positifs dont la somme des chiffres n’est jamais divisible par l’entier k= 17 Même question avec k = 19 (entiers décaennéaphobes)
Q - Pour les plus courageux : décrire une méthode permettant de trouver le plus petit ₃ entier k tel qu’il existe au moins 2021 entiers consécutifs strictement positifs dont la somme des chiffres n’est jamais divisible par k.
Réponses:
Q1
Désignons par la fonction S la somme des chiffres d'un nombre entier.
Considérons Nx0, où N et x sont respectivement un entier et un chiffre tels que S(N) + x ≡ 1 modulo 13. Nous pouvons "monter" jusqu'à N99 inclus si S(N) + 9 + 9 ≡ 12 modulo 13, soit S(N) ≡ 7 modulo 13. x = 7.
Avant N70, nous pouvons "descendre" jusqu'à N61 inclus, car S(N) + 6 + 1 ≡ 1 modulo 13.
Posons N = P09...9, où le nombre des chiffres 9 à partir de la droite est a. S(P) + 9a ≡ 7 modulo 13. Après P09...999, nous "montons" d'abord à P10...000, où le nombre des chiffres 0 à partir de la droite est a + 2. Avec P = 0, a = 8 au minimum. Après 9 999 999 999, nous pouvons "monter" jusqu'à 10 000 000 038 inclus, car 1 + 8 x 0 + 3 + 8 ≡ 12 modulo 13.
Les 78 entiers consécutifs de 9 999 999 961 à 10 000 000 038 inclus conviennent.
Q2
Soit Nx0, où N et x sont respectivement un entier et un chiffre tels que S(N) + x ≡ 1 modulo 17. Nous pouvons "monter" jusqu'à N99 inclus si S(N) + 9 + 9 ≡ 16 modulo 17, soit S(N) ≡ 15 modulo 17. x = 3.
Avant N30, nous pouvons "descendre" jusqu'à N21 inclus, car S(N) + 2 + 1 ≡ 1 modulo 17.
Posons N = P09...9, où le nombre des chiffres 9 à partir de la droite est a. S(P) + 9a ≡ 15 modulo 17. Après P09...999, nous "montons" d'abord à P10...000, où le nombre des chiffres 0 à partir de la droite est a + 2. Avec P = 0, a = 13 au minimum. Après 999 999 999 999 999, nous pouvons "monter" jusqu'à 1 000 000 000 000 078 inclus, car 1 + 13 x 0 + 7 + 8 ≡ 16 modulo 17.
Lorsque k = 17, les 158 entiers consécutifs de 999 999 999 999 921 à 1 000 000 000 000 078 inclus conviennent.
Lorsque k = 19, plus simplement, les 198 entiers consécutifs de 1 à 198 inclus conviennent.
Q3
Parmi les au moins 2021 entiers consécutifs, il y en a au moins un qui se termine par 999.
Les entiers consécutifs de 1 à 2021 inclus conviennent lorsque 1 + 9 + 9 + 9 = k - 1, soit k = 29.
En considérant dix entiers consécutifs, dont les chiffres des unités prennent les valeurs de 0 à 9, k est au moins égal à 11.
La méthode utilisée précédemment, en partant de Nyz0, où y et z sont chacun un chiffre, conduit à S(N) + y + z ≡ 1 et S(N) + 9 + 9 + 9 ≡ k - 1, donc à y + z ≡ 29 - k.
On ne peut pas trouver k plus petit que 29.
Jean-Louis Legrand
