A629 ‒ La porte étroite
Q₁ Trouver le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Q₂ Pour les plus courageux : exprimer en fonction de l'entier k > 0, la plus petite valeur de l'entier pair N tel qu'il existe 2k + 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Application numérique : trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 divise N.
Solution par Patrick Gordon Q₁
Si l'on veut le plus petit entier et que les sept entiers soient distincts, il faut les prendre consécutifs. La somme de trois quelconques d'entre eux sera inférieure à celle des trois plus grands. Il suffit donc que cette dernière soit ≤ N/2.
La solution est donc N = 90, inférieur à la somme des 7 entiers de 10 à 16 (qui vaut 91) et la somme de trois quelconques d'entre eux est ≤ à celle des trois plus grands (qui vaut 14 + 15 + 16 = 45 = N/2).
Q₂
À partir du cas k = 3, le raisonnement se généralise comme suit.
On prendra encore les (2k + 1) entiers consécutifs, à partir d'un entier a, à déterminer. Leur somme sera donc :
S1 = (a + k) (2k + 1)
et la somme des k plus grands sera : S2 = (2a + 3k + 1) k / 2
On veut que S1 > 2S2, soit, en développant : a > k²
Avec a = k² + 1, cette inégalité est satisfaite et l'on trouve : S1 = (k² + k + 1) (2k + 1)
qui est impair. Le plus petit N pair est donc S1 – 1, soit : N = k (2k² + 3k + 3)
qui est pair. On vérifie que S2 ≤ N/2.
Pour k = 3, on retrouve bien N = 90, S1 = 91 et S2 = 45.
Application numérique
Un tableur nous donne 105 pour plus petite valeur de k telle que 2016 divise N.
