Q1 Trouver le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Q2 Pour les plus courageux: exprimer en fonction de l'entier k > 0, la plus petite valeur de l'entier pair N tel qu'il existe 2k + 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Application numérique: trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 divise N.
Q1 : Les sommes de trois entiers parmi sept distincts sont toutes inférieures ou égales à la somme des trois plus grands : il faut donc que la somme des quatre plus petits soit strictement supérieure à celle des trois plus grands. Le troisième des nombres étant fixé, on minimise la somme des trois plus grands et maximise celle des quatre plus petits en prenant des nombres consécutifs.
La somme des nombres de 0 à 3 est 6 et celle de 4 à 6 est 15 : la somme de quatre nombres consécutifs à partir de n est donc 4n+6 et celle des trois suivants 3n+15.
Donc 3n+15<4n+6 soit n>9 : pour n=10, N/2≥45 donc N=90, n=10, 7n+21>90.
Q2 : La somme des entiers de n à n+2k est (2k+1)(n+k), celle des entiers de n+k+1 à n+2k est k(2n+3k+1)/2, donc N<(2k+1)(n+k) et k(2n+3k+1)≤N soit n>k2 ou n≥k2+1 et N≥k(2k2+3k+3)
Il faut aller jusqu’à k=105 pour que N=2348640 soit divisible par 2016 N=1165*2016.
