A 629. La porte étroite. ***
Q1 Trouver le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Q2 Pour les plus courageux : exprimer en fonction de l'entier k > 0, la plus petite valeur de l'entier pair N tel qu'il existe 2k + 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Application numérique : trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 divise N.
Solution proposée par Michel Lafond
Q1. Le plus petit N est 90. En effet :
Soient les 7 entiers.
On a par hypothèse
donc en multipliant par 2 et en simplifiant : d’où
Mais (1) et (2) impliquent d’où
Les 7 entiers 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 et N = 90 vérifient les conditions puisque
[A fortiori les sommes de trois quelconques d'entre eux seront toutes inférieures ou égales à
Par conséquent, l’entier N = 90 convient, et c’est le plus petit car, si l’entier pair convenait avec t > 0 alors on aurait 7 entiers tels que
Mais on a vu que donc on aurait
Ceci impliquerait d’où une contradiction.
Q2.
Traitons le cas k = 1 à part pour plus de clarté.
Soient les 3 entiers.
On a par hypothèse donc en multipliant par 2 et en simplifiant : d’où
Les 3 entiers 2, 3, 4 et N = 8 vérifient les conditions puisque
Par conséquent, l’entier N = 8 convient, et c’est le plus petit, car si l’entier pair convenait avec t > 0 alors on aurait 3 entiers tels que Donc on aurait
Ceci impliquerait d’où une contradiction.
Dans le cas général avec :
Soient et un entier pair N des entiers qui vérifient les conditions
En raisonnant comme dans le cas k = 3 précédent, on déduit facilement (en posant :
D’où
Les 2k + 1 entiers vérifient les conditions car :
De plus la somme des 2k + 1 entiers est égale à
Enfin, la somme de k de ces entiers est au plus égale à la somme des k plus grands, à savoir :
est le plus petit entier pair qui vérifie les conditions car :
Si on avait 2k +1 entiers et un entier pair vérifiant les conditions avec t > 0 alors on aurait Or on a vu que , donc
(3) et (4) impliqueraient
On en déduit d’où une contradiction.
Application numérique :
Il faut trouver la plus petite valeur de k telle que divise On vérifie aisément que
si et seulement si si et seulement si
si et seulement si k doit donc être un multiple de 21 congru à 0 ou 9 modulo 32.
Or a pour plus petite solution x = 5.
Donc la plus petite valeur de k cherchée est k = 21.5 = 105.
