LYCÉE ALFRED KASTLER TES 20122013 Devoir surveillé n◦01 mathématiques
02/10/2012
Exercice 1 (5 points) Zoé place7 000e sur un compte au taux d'intérêts composés de3% par an.
Soit un le montant du capital disponible sur le livret n années après le début du placement.
On sait donc que u0 = 7 000.
1. Pour un entier n exprimer un+1 en fonction de un.
2. Quelle est la nature de la suiteu? Préciser ses caractéristiques.
3. Donner le sens de variation de u.
4. Quel est le montant du capital au bout de 20ans ?
Exercice 2 (10 points) La hauteur atteinte par une balle diminue de 19% à chaque rebond. On lâche une balle d'une hauteur de1,25m. Soitunla hauteur maximale atteinte après len-ième rebond.
On a donc u0 = 1,25.
1. Exprimer un+1 en fonction deun. 2. Quelle est la nature de la suiteu? 3. Quelle est la limite de la suite u?
4. On souhaite déterminer la distance verticale totale parcourue par la balle.
(a) Justier que la distance parcourue par la balle lorsqu'elle touche le sol pour lan+ 1-ième fois (n>1) est donnée par :
Dn=u0+ 2u1+· · ·+ 2un (b) Soit Sn=u0+u1+· · ·+un. Exprimer Sn en fonction de n.
(c) En déduire l'expression de Dn en fonction den. (d) Déterminer la limite de Sn lorsque n tend vers +∞.
(e) En déduire la distance totale parcourue par la balle.
Exercice 3 (Pour les élèves ne suivant pas la spécialité 5 points) Les armations suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justier
1. Une suite positive qui n'a pas une limite nie admet une limite égale à +∞.
2. Une suite géométrique positive et strictement croissante admet une limite égale à+∞.
3. Si une suite géométrique positive a une limite nie, alors la somme de ses termes a également une limite nie.
Exercice 3 (Pour les élèves qui suivent la spécialité 5 points) On considère les matrices suivantes :
A=
−3 3 −1
5 12 4
et B =
x+y 3 y
5 6z z−x
1. Que vaut le nombrea21? 2. Écrire la matrice tA.
3. Déterminer x,y etz tels que A=B.
