A629. La porte étroite
Q1 Trouver le plus petit entier pair N tel qu'il existe sept entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de trois quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Q2 Pour les plus courageux: exprimer en fonction de l'entier k > 0, la plus petite valeur de l'entier pair N tel qu'il existe 2k + 1 entiers strictement positifs distincts dont la somme est strictement plus grande que N et les sommes de k quelconques d'entre eux sont toutes au plus égales à N/2.
Application numérique: trouver la plus petite valeur de k telle que 2016 divise N.
Solution de Paul Voyer
Q1
Soient a, b, c, d, e, f, n les 7 entiers.
La somme e+f+n doit être ≤ N/2.
La somme a+b+c+d doit donc être > N/2
Pour réunir ces conditions avec N le plus petit possible, les 7 entiers doivent être successifs.
On trouve 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 Somme = 16*17/2+9*10/5 = 136-45 = 91 e+f+n = 45 ; a+b+c+d = 46.
N = 90
Cela correspond à k=3 dans Q2.
Q2
Soit la suite n-2k-1, n-2k, …, n.
La somme totale vaut n(n+1)/2-(n-2k-1)(n-2k)/2 = N+1.
Les k plus grands n-k-1, …, n, ont pour somme N/2 = k(2n-k+1)/2
Les k+1 premiers termes ont pour somme (n-k)(n-k+1)/2-(n-2k-1)(n-2k)/2 = N/2+1
-k²+2kn+k = N = k(2n-k+1) et
n²-2kn+n+k(k-1)-n²+4kn+n-2k(2k+1) = N+2 2kn+2n+k²-k-4k²-2k = N+2
2kn+2n-3k²-3k = N+2 2n(k+1)-3k(k+1) = N+2
D'où la relation entre n et k : 2kn+2n-3k²-3k=2kn-k²+k+2
n = k²+2k+1 = (k+1)²
Et N = 2k³+3k²+3k = k(2k²+3k+3) Application numérique :
k doit être diviseur de 2016 = 25*3²*7.
Excel montre que la plus petite valeur correspond à :
k = 105, n = 11 236, N = 2 348 640 (= 2 016*1 165).
