A571 ‒ A la recherche du gogol [*** à la main]
Q1 Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016. Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.
Q2 Déterminer le plus petit entier n₀ tel qu'on sait trouver des entiers distincts ≤ n₀ dont le produit est égal à un gogol = 10¹⁰⁰.
Solution de Paul Voyer Q1
Le nombre recherché est de la forme 10x = 2x*5x.
Les facteurs 2 disponibles sont ceux de :
1 fois 2, 4, 8, …, 1024, au nombre de 1+2+…+10 = 55, 5 fois 2, 4,…, 256, au nombre de 1+2+…+8 = 36, 25 fois 2, 4,…, 64, au nombre de 1+2+…+6 = 21, 125 fois 2, 4, 8, 16, au nombre de 1+2+3+4 = 10, 625 fois 2, au nombre de 1,
soit 123.
Les facteurs 5 disponibles sont ceux de :
1 fois 5, 25, 125, 625, au nombre de 1+2+3+4 = 10, 2 fois 5, 25, 125, 625, au nombre de 1+2+3+4 = 10, 4 fois 5, 25, 125, au nombre de 1+2+3 = 6,
8 fois 5, 25, 125, au nombre de 1+2+3 = 6, 16 fois 5, 25, 125, au nombre de 1+2+3 = 6, 32 fois 5, 25, au nombre de 1+2 = 3,
et
64 fois 5, 25, au nombre de 1+2 = 3, 128 fois 5, au nombre de 1,
256 fois 5, au nombre de 1,
soit 46, qui consommeraient 4+3*2+3*3+3*4+2*5+2*6+7+8 = 68 "2".
On ne peut pas les prendre tous, le nombre de "2" devant égaler le nombre de "5".
On prend les 19 premiers entiers, qui utilisent 41 "5" et 41 "2", On remplace 160 par 1600.
La plus grande puissance de 10 obtenue est 42 .
k log10(k)
5 0.69897
10 1
20 1.30103 25 1.39794001 40 1.60205999 50 1.69897 80 1.90308999
100 2
125 2.09691001 200 2.30103 250 2.39794001 400 2.60205999 500 2.69897 625 2.79588002 800 2.90308999
1000 3
1250 3.09691001 1600 3.20411998 2000 3.30103 total log 42
Q2
La contrainte porte sur le nombre de "5", il y aura toujours assez de "2".
Avec 31249, on n'atteint pas le gogol.
L'entier n0 recherché est 31 250 .
En effet, avec 31250, on obtient :
Les facteurs 5 disponibles sont ceux de :
1 fois 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, au nombre de 1+2+3+4+5+6 = 21, 2 fois 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, au nombre de 1+2+3+4+5+6 = 21, 4 fois 5, 25, 125, 625, 3125, au nombre de 1+2+3+4+5 = 15,
8 fois 5, 25, 125, 625, 3125, au nombre de 1+2+3+4+5 = 15, 16 fois 5, 25, 125, 625, au nombre de 1+2+3+4 = 10,
32 fois 5, 25, 125, 625, au nombre de 1+2+3+4 = 10, 64 fois 5, 25, 125, au nombre de 1+2+3 = 6,
soit 98 "5", consommant 85 "2"
On ajoute 128*25 = 3200, consommant 2 "5" et 7 "2"
Restent 8 "2", l'entier 256 par exemple.
Au total, on a bien 100 "5" et 100 "2".
k log10(k)
5 0.69897
10 1
20 1.30103
25 1.39794001 40 1.60205999
50 1.69897
80 1.90308999
100 2
125 2.09691001 160 2.20411998 200 2.30103 250 2.39794001 256 2.40823997 320 2.50514998 400 2.60205999 500 2.69897 625 2.79588002 800 2.90308999
1000 3
1250 3.09691001 1600 3.20411998 2000 3.30103 2500 3.39794001 3125 3.49485002 3200 3.50514998 4000 3.60205999 5000 3.69897 6250 3.79588002 8000 3.90308999
10000 4 12500 4.09691001 15625 4.19382003 20000 4.30103 25000 4.39794001 31250 4.49485002 total log 100
