A571 ‒ A la recherche du gogol
Q₁ Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016.
Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n₀ tel qu'on sait trouver des entiers distincts ≤ n₀ dont le produit est égal à un gogol = 10¹⁰⁰.
Solution par Daniel Collignon
Construisons le tableau suivant selon les puissances de 2 et de 5 :
Q₁ Le produit des 23 nombres distincts ≤ 2016 de la forme 2p.5q avec q >0 vaut 2⁶⁸ .5⁴⁶.
On est alors obligé d'en éliminer 4 (160, 320, 640 et 1280) pour équilibrer les puissances et parvenir à 10⁴².
Cela fournit une liste de 19 nombres la plus courte par construction.
5 25 125 625 10 50 250 1250 20 100 500 40 200 1000 80 400 2000 800
1600
Q₂ Avec 31250, il est possible d'atteindre 10¹⁰⁵ ainsi : 5 25 125 625 3125 15625
10 50 250 1250 6250 31250
20 100 500 2500 12500 40 200 1000 5000 25000 80 400 2000 10000 800 4000 20000 1600 8000 3200 16000 6400 12800
A fortiori il est donc possible d'atteindre 10¹⁰⁰ en enlevant 100 et 1000 On vérifie qu'avec 25600, il est impossible d'atteindre 10¹⁰⁰
