A 571. A la recherche du gogol. ***

A 571. A la recherche du gogol. ***

Q1 Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016.

Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.

Q2 Déterminer le plus petit entier n₀ tel qu'on sait trouver des entiers distincts ≤ n0 dont le produit est égal à un gogol = 10¹⁰⁰.

Solution proposée par Thérèse Eveilleau

Q1 La plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016 est 10⁴²

On cherche d'abord les puissances de 5 que l'on va multiplier par des puissances de 2 de même exposant éventuellement multipliées par 10,

=> 5¹ * 5² * 5³ * 5⁴ * 2 * 4 * 8 * 160 * 50 * 250 * 1250 * 20 * 40 * 80 * 500 * 200 * 10 * 100 * 1000

On multiplie les puissances de 2, par des puissances de 10 pour rendre le produit le plus grand possible.

On regroupe ensuite ce qui est possible, pour que le produit soit le plus court possible avec des facteurs tous différents.

10³⁴ = 5 *25*125*625*64*160*50*250*1250*800*80*500*2000*100*1000 On regroupe 5 et 80

10³⁴ = 25*125*625*64*160*50*250*1250*800*400*500*2000*100*1000

Dans l'ordre :

10³⁴ = 25*50*64*100*125*160*250*400*500*625*800*1000*1250*2000 Améliorations :

10⁴² = 5 * 10 * 20 * 25 * 40 * 50 * 80 * 100 * 125 * 200 * 250 * 400 * 500 * 625 * 800 * 1000

* 1250 * 1600 * 2000

Q2 Essayons avec 25000 On atteint 10⁹⁷

5 * 25 * 125 * 625 * 3125 * 15625 *

20000 * 4000 * 8000 * 16000 * 3200 * 6400 * 50 * 250 * 1250 * 6250 *

2000 * 400 * 800 * 1600 * 500 * 2500 * 12500 * 200 * 40 * 80 * 5000 * 25000 *

20 * 4 * 10 * 100 * 1000 * 10000

En réorganisant

10⁹⁷ = 4 * 5 * 10 * 20 * 25 * 40 * 50 * 80 * 100 * 125 * 200 * 250 * 400 * 500 * 625 * 800 * 1000 * 1250 * 1600 * 2000 * 2500 * 3125 * 3200 * 4000 * 5000 * 6250 * 6400 * 8000 * 10000

* 12500 * 15625 * 16000 * 20000 * 25000 4* 40 * 80 -->12800

10⁹⁷ = 5 * 10 * 20 * 25 * 50 * 100 * 125 * 200 * 250 * 400 * 500 * 625 * 800 * 1000 * 1250 * 1600 * 2000 * 2500 * 3125 * 3200 * 4000 * 5000 * 6250 * 6400 * 8000 * 10000 * 12500 * 12800 *15625 * 16000 * 20000 * 25000

Les facteurs doivent être tous distincts et toutes les puissances de 5 ou combinaisons avec les puissances de 2 ont été utilisées.

Il est impossible de faire mieux avec 25000.

→

Essayons avec 31250, c'est le plus petit des entiers supérieurs à 25000 et ne contenant que des facteurs 2 ou 5 et qui est différent de tous les facteurs déjà trouvés.

Avec 31250 on peut atteindre 10¹⁰³ 5 * 25 * 125 * 625 * 3125 * 15625

20000 *4000* 8000*16000 * 3200*6400*

50 * 250 * 1250 * 6250 * 31250 2000 * 400 * 800 * 16 * 32 500 * 2500 * 12500

200 * 40 * 80 5000 * 25000 *

20 * 4 * 10 * 100 * 1000 * 10000

10¹⁰³ = 5 * 10 * 20 * 25 * 32 * 50 * 100 * 125 * 200 * 250 * 400 * 500 * 625 * 800 * 1000 * 1250 * 1600 * 2000 * 2500 * 3125 * 3200 * 4000 * 5000 * 6250 * 6400 * 8000 * 10000 * 12500 * 12800 * 15625 * 16000 * 20000 * 25000 * 31250

Et pour obtenir 10¹⁰⁰

il suffit d'enlever un facteur 1000, ou 10 * 100 ou encore mieux : 10 * 20 * 5

10¹⁰⁰ = 25 * 32 * 50 * 100 * 125 * 200 * 250 * 400 * 500 * 625 * 800 * 1000 * 1250 * 1600 * 2000 * 2500 * 3125 * 3200 * 4000 * 5000 * 6250 * 6400 * 8000 * 10000 * 12500 * 12800 * 15625 * 16000 * 20000 * 25000 * 31250

31250 est le plus petit entier n₀ tel qu'on sait trouver des entiers distincts ≤ n0 dont le produit est égal à un gogol = 10¹⁰⁰.