Q₁ Déterminer la plus grande puissance de 10 obtenue en multipliant des entiers distincts ≤ 2016.
Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.
Q₂ Déterminer le plus petit entier n₀ tel qu'on sait trouver des entiers distincts ≤ n₀ dont le produit est égal à un gogol = 10100.
Q1 : Parmi les nombres inférieurs à 2016, on peut dénombrer ceux composés uniquement à partir des facteurs premiers 2 et 5, en les classant par puissance de 5 décroissantes :
-54 : 625, 1250
-53 : 125, 250, 500, 1000, 2000
-52 : 25, 50, 100, 200, 400, 800, 1600 -5 : 5, 10, 20, 40, 80, 160, 320, 640, 1280.
En choisissant ceux où la puissance de 5 est supérieure ou égale à celle de 2, on obtient 625*1250*125*250*500*1000*25*50*100*5*10=211*528 que l’on complète par : 2000*200*400*800*1600*20*40*80=231*514. Le produit vaut 1042.
Q2 : Pour atteindre le gogol, il faut disposer de puissances de 5 supérieures ou égales à 6 ; 15625 n’est pas suffisant, mais avec 31250, on peut atteindre 10105 , avec
5*10*20*40*80
*25*50*100*200*400*800*1600*3200*6400*12800
*125*250*500*1000*2000*4000*8000*16000
*625*1250*2500*5000*10000*20000
*3125*6250*12500*25000
*15625*31250.
