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Notons que la plus grande puissance de 5inférieure ou égale à2016 est54 = 625

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Academic year: 2022

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A571. À la recherche du gogol :

Q1 Déterminer la plus grande puissance de10 obtenue en multipliant des entiers distincts≤2016.

Donner une liste de ces entiers aussi courte que possible.

Q2 Déterminer le plus petit entiern0 tel qu’on sait trouver des entiers≤n0 dont le produit est égal à un gogol = 10100.

Solution :

Q1 Comme10 = 2.5, les seuls éléments pouvant contribuer à une puissance de 10 sont de la forme 2k5l,(k, l)∈N2.

Notons que la plus grande puissance de 5inférieure ou égale à2016 est54 = 625. Et on peut alors construire le tableau des entiers pouvant contribuer à la puissance de10 maximale :

Total Contribution5/2 Puissance de 5 Puissance de2 Entier suivant

8/1 8/1 54 20,21 5422 = 2500

23/11 15/10 53 20,21,22,23,24 5325 = 4000 37/32 14/21 52 20,21,22,23,24,25,26 5227 = 3200 42/42 9/36 51 20,21,22,23,24,25,26,27,28 5129 = 2560 N/A 0/55 50 20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,210 50211= 2048 Puisqu’on a un déficit de 5 (comparés aux 2), on commence par remplir par les plus grandes puissances de 5. On peut descendre ainsi jusqu’à 5124 inclus, ce qui nous donne une contribution identique pour5 et pour2 :42.

Par suite, la plus grande puissance de 10 vaut 1042 et l’ensemble des nombres de cardinal minimal dont le produit vaut1042est :625,1250,125,250,500,1000,2000,25,50,100,200,400,800,1600, 5,10,20,40,80.

Q2 En construisant le même tableau que précédemment avec n= 31250 (n= 10000 est un passage intermédiaire pour trouver cette valeur), on obtient :

Total Contribution5/2 Puissance de5 Puissance de2 Entier suivant

12/1 12/1 56 20,21 5622 = 62500

32/7 20/6 55 2i,i∈J0; 3K 5524 = 50000 56/22 24/15 54 2i,i∈J0; 5K 5426 = 40000 80/50 24/28 53 2i,i∈J0; 7K 5328 = 32000 96/86 22/XX 52 2i,i∈J0; 10K 52211= 51200

N/A XX/XX 51 2i,i∈J0; 12K 51213= 40960

À partir de la puissance 52, il ne faut pas sélectionner les 2i avec i= 9,10 car on ne récupère que deux facteurs5contre neuf ou dix facteurs2. Il est plus intéressant de choisir5122,5123,5124 pour un coût de neuf facteurs2 mais trois facteurs5 (un de plus).

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Ainsi, on obtient une puissance de 10 maximale égale à 10102 (en choisissant 512i pour i = 0,1,2,3,4,6). On note que 31250 est le premier entier pour lequel la fonction f qui à un entier associe le logarithme en base dix de la plus grande puissance de10 formée par un produit d’entiers inférieurs ou égaux à cet entier prend une valeur supérieure à 100.

En effet, si l’on regarde la valeur prise parfen31249, on est forcé de retirer l’importante contribution de5621= 31250. Et on ne peut alors qu’atteindre1097. Ainsin0= 31250(il suffit de retirer le facteur 100du produit par exemple).

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