A477. Deux indices pour six inconnues
A partir de quatre chiffres distincts a,b,c,d choisis parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, on écrit six entiers de la forme ac,ba,cd,da,db,dc.Leur somme est égale à l’entier cab et le produit de deux d’entre eux est égal à l’entier abcd. Déterminer ces six entiers.
La somme cab = 100c+10a+b = 10(a+b+c+3d) + (2a+2c+b+d) 88c = 2a + 10b +31d donc d est pair, d=2d', d' = 1 ou 2 ou 3 ou 4.
44c = a + 5b + 31d'.
D'autre part cab – ab = c00 = 10(b+c+3d) + (2a+2c+d) 2a+2c+d est au maximum égal à 2(9+7)+8 ou 2(9+8)+6 = 40
ensuite 10(b+c+3d+4) est au maximum égal à 10(9+7+3*8+4)=10*44 Le chiffre c des centaines est au plus 4.
On peut étudier 16 cas c variant de 1 à 4 et d' de 1 à 4 et résoudre a + 5b = 44c – 31d' Sachant que a+5b doit appartenir à l'intervalle [7..52], 11 cas sont exclus, il reste 5 cas.
Les chiffres a,b,c,d devant être tous distincts, il ne reste que 3 candidats.
Les quadruplets (a,b,c,d) avec chiffres tous distincts sont : (1,5,2,4) (4,7,3,6) (7,9,4,8).
On élimine (1,5,2,4) parce que 127 est un facteur premier de 1524 donc 1524 n'est pas le produit de 2 nombres de 2 chiffres.
De même on élimine (7,9,4,8) parce que 1987 est un facteur premier de 7948 donc 7948 n'est pas le produit de 2 nombres de 2 chiffres.
Un seul candidat reste (4,7,3,6) . Or 4736 = 37 * 128 = 74 * 64 = ba * da.
Les 4 chiffres sont donc bien 4,7,3,6.
c d' 44c-31d' a+5b (a,b)
1 1 13 13 (8,1)(3,2) nn
2 1 57 n
3 1 101 n
4 1 145 n
1 2 -18 n
2 2 26 26 (1,5)(6,4) 1524,n
3 2 70 n
4 2 114 n
1 3 -49 n
2 3 -5 n
3 3 39 39 (4,7)(9,6) 4736,n
4 3 83 n
1 4 -80 n
2 4 -36 n
3 4 8 8 (3,1)() n
4 4 52 52 (7,9)() 7948
