A477. Deux indices pour six inconnues
A partir de quatre chiffres distincts a,b,c,d choisis parmi l’ensemble des chiffres de 1 à 9, on écrit six entiers de la forme , , , , et .Leur somme est égale à l’entier et le produit de deux d’entre eux est égal à l’entier . Déterminer ces six entiers
Solution proposée par Bernard Grosjean
1ère condition :
ac + ba + cd + da + db + dc = cab entraîne :
– 2(a + c) + d + b = 10k + b soit 2(a + c) – k10 = d soit d pair ε (2, 4, 6, 8)
k ε (1, 2, 3, 4)
– a + b + c + 3d + k = a + 10c soit b + 3d + k = 9c soit c ε (1, 2, 3, 4) Examinons les possibilités avec les différentes valeurs de k et de c
– k = 1 donne 2(a + c) + d = 10 et 3d + b + 1 = 9c, avec d pair
si c = 1 : 3d + b = 8, seule possibilité d = 2 et b = 2 (impossible car d ≠ b) si c = 2 : 2a + d = 6 et 3d + b = 17 donne la solution a = 1; b = 5; c = 2; d = 4 si c = 3 : 2a + d = 4 donne a = 1, b = 2, incompatible avec 3d + b = 26
si c = 4 : 2a + d = 2 impossible
- k = 2 donne 2(a + c) + d = 20 et 3d + b + 2 = 9c, avec d pair
si c = 1 : 3d + b = 7 seule possibilité d = 2 et b = 1 (impossible car c ≠ b) si c = 2 : 2a + d = 16 et 3d + b = 16 donne d = 4 et b = 4 (impossible car d ≠ b) si c = 3 : 2a + d = 14 et 3d + b = 25 donne la solution a = 4; b = 7; c = 3; d = 6 si c = 4 : 3d + b = 34 impossible avec d pair (d = 8 entraîne b = 10)
- k = 3 donne 2(a + c) + d = 30 et 3d + b + 3 = 9c, avec d pair si c = 1 : 3d + b = 6 (impossible, d = 2 entraîne b = 0) si c = 2 : 2a + d = 26 et 3d + b = 15 (impossible)
si c = 3 : 2a + d = 24 et 3d + b = 24 (impossible si d = 6, b = 6; si d = 8, a = 8) si c = 4 : 2a + d = 22 et 3d + b = 33 donne la solution a = 7; b = 9; c = 4; d = 8 - k = 4 donne 2(a + c) + d = 40 et 3d + b + 4 = 9c, avec d pair
si c = 1 : 2a + d = 38 (impossible, a = 9 entraîne d = 20) si c = 2 : 2a + d = 36 (impossible, a = 9 entraîne d = 18) si c = 3 : 2a + d = 34 (impossible, a = 9 entraîne d = 16) si c = 4 : 2a + d = 32 (impossible, a = 9 entraîne d = 14) La première condition donne 3 solutions :
– a = 1; b = 5; c = 2; d = 4
– a = 4; b = 7; c = 3; d = 6
– a = 7; b = 9; c = 4; d = 8
2ème condition :
– abcd = 1524 on a : ac = 12, ba = 51, cd = 24, da = 41, db = 45, dc = 42 les produits donnant “4” pour les unités sont :
–
12x42 = 504; 51x24 = 1224; 41x24 = 984 (pas de solution)
– abcd = 4736 on a : ac = 43, ba = 74, cd = 36, da = 64, db = 67, dc = 63 le seul produit donnant “6” pour les unités est :
–
74x64 = 4736, qui satisfait à la condition
– abcd = 7948 on a : ac = 74, ba = 97, cd = 48, da = 87, db = 89, dc = 84 les seuls produits donnant “8” pour les unités sont :
74x97 = 7178; 84x97 = 8148; 74x87 = 6438; 84x87 = 7308 (pas de solution)
Conclusion :
la seule solution est : a = 4; b = 7; c = 3; d = 6
