B143 – Les carrés magiques décimaux [**** à la main et avec l’aide éventuelle d’un automate]
Problème proposé par Michel Lafond
On appelle carré magique décimal [CMD] d’ordre n un carré de n × n cases contenant les entiers de 1 à n2 et tel que :
Les sommes des n lignes, des n colonnes et des deux diagonales soient constantes ; La somme des 4 nombres situés aux coins soit égale à 10.
Q1. Démontrer qu’il n’existe pas de CMD d’ordre inférieur à 7.
Q2. Trouver un CMD d’ordre 7.
Solution proposée par l’auteur.
Q1. Rappelons que la constante d’un carré magique d’ordre n est
Il n’y a pas de CM d’ordre 2.
Le seul CM d’ordre 3 aux permutations près est
Il n’est pas décimal.
Supposons qu’il existe un CMD d’ordre 4.
Par hypothèse, les entiers 1, 2, 3, 4 doivent figurer aux 4 coins (à une permutation près) :
La constante vaut
En considérant les 4 alignements du bord, on voit que la somme des 8 cases marquées d’une croix dans la figure 1 vaut [Et ceci quelle que soit la permutation des entiers 1, 2, 3, 4]
La somme des 16 nombres du carré vaut Donc
C’est évidemment impossible.
Supposons qu’il existe un CMD d’ordre 5.
Par hypothèse, les entiers 1, 2, 3, 4 doivent figurer aux 4 coins (à une permutation près) :
La constante vaut
4 9 2 3 5 7 8 1 6
1
× ×
2×
a b×
×
c d×
3
× ×
41 × × × 2
× a b c ×
× d e f ×
× g h i × 3 × × × 4
Figure 1
Figure 2
En considérant les 4 alignements du bord, on voit que la somme des 12 cases marquées d’une croix dans la figure 2 vaut [Et ceci quelle que soit la permutation des entiers 1, 2, 3, 4]
La somme des 25 nombres du carré vaut Donc
Or la plus petite valeur possible pour cette somme est 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 = 81.
Il n’y a pas de CMD d’ordre 5.
Supposons qu’il existe un CMD d’ordre 6.
Par hypothèse, les entiers 1, 2, 3, 4 doivent figurer aux 4 coins (à une permutation près) :
La constante vaut
En considérant les 4 alignements du bord et les 2 alignements diagonaux, on voit que la somme des 24 cases marquées d’une croix dans la figure 3 vaut
[Et ceci quelle que soit la permutation des entiers 1, 2, 3, 4]
La somme des 36 nombres du carré vaut
Il reste pour la somme des 8 cases blanches.
Or la plus petite valeur possible pour cette somme est 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 = 68.
Il n’y a pas de CMD d’ordre 6.
Q2. Pour l’ordre 7, les raisonnements précédents n’apportant aucune contradiction, un CMD d’ordre 7 est théoriquement possible.
.
1 × × × × 2
× × × ×
× × × ×
× × × ×
× × × ×
3 × × × × 4
1 29 32 43 39 27 4 45 38 35 14 9 19 15 40 24 7 5 41 11 47 33 22 21 49 6 16 28 30 8 42 18 34 12 31 23 17 13 10 20 44 48 3 37 25 36 26 46 2
Figure 3
Les CMD d’ordre 7 existent bien, mais ils sont difficiles à obtenir car les contraintes sont fortes.
Il est naturel (mais pas obligatoire) de placer 49 au centre pour compenser les petits entiers de coins, et je me suis imposé cette contrainte supplémentaire.
Après avoir rempli une centaine de grilles, par
"approximations successives" consistant à permuter des couples d’entiers, j’ai obtenu la solution ci- contre dans laquelle on a bien la constante 175 dans les 14 rangées et les deux diagonales
