A809 – Les entiers cachés
Je dispose d’une calculette qui affiche au maximum dix chiffres (par exemple : 3 487 062 139 et 0,073661932)
Q1 – Je choisis 4 nombres premiers distincts a, b, c et d tous inférieurs à 100 et je calcule a/b – c/d. J’obtiens pour résultat 0,180451127. Déterminer a, b, c et d.
Q2 – Soient les deux nombres décimaux 0,728101457 et 0,635149023. L’un de ces nombres est le résultat affiché par ma calculette d’une fraction irréductible p/q avec p et q entiers inférieurs à 1000. Les décimales de l’autre nombre sont tirées d’une table de nombres au hasard. Trouver les termes p et q de la fraction irréductible.
Solution proposée par Patrick Gordon Q1
Comme a/b – c/d = (ad – bc) / bd, on doit avoir 0,180451127 bd ≈ (ad – bc), c’est-à-dire un nombre "presque" entier.
On cherche donc, parmi les 25 × 24 / 2 = 300 produits de deux nombres premiers distincts inférieurs à 100, celui qui donnera le résultat le plus proche d'un entier. Pour b, d = 7 et 19, on trouve 0,180451127 bd = 23,99999989, très proche de 24 et l'on vérifie que 24 / (7 × 19) = 0,1804511279…, ce qui, avec une calculette n'affichant que 10 chiffres, conduit bien au résultat tronqué 0,180451127
Reste à trouver a et c tels que ad – bc = 24, avec a, b, c et d tous différents.
Une solution est :
a/b – c/d = 17/19 – 5/7 = 0,180451127 (au dixième chiffre près).
Q2
On procède de manière analogue. Successivement pour les deux nombres 0,728101457 et 0,635149023, on cherche un nombre entier q < 1000 tel que 0,728101457 q ou 0,635149023 q soit très proche d'un entier.
On trouve que 0,635149023 × 973 = 617,9999994, très proche de 618.
En divisant 618 par 973, on trouve : 0,6351490236…, ce qui, avec une calculette n'affichant que 10 chiffres, conduit bien au résultat tronqué 0,635149023.
Comme 618 et 973 sont premiers entre eux, la fraction p / q = 618 / 973
est bien irréductible.
